Divulgaciones Matem ticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 107 112 https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/

DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.11540730

⃝c Autor(es) e-ISSN 2731-2437

p-ISSN 1315-2068

Problemas y Soluciones

Problems and Solutions

Editor: Tob as Rosas Soto (tjrosas@gmail.com) ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8085-5011

Departamento de Matem tica, Facultad Experimental de Ciencias, Universidad del Zulia, Maracaibo,

Rep blica Bolivariana de Venezuela.

Los problemas apropiados para esta secci n son aquellos que puedan ser abordados por un estudiante de matem tica no graduado sin conocimientos especializados. Problemas abiertos conocidos no son aceptables. Se pre eren problemas originales e interesantes. Las soluciones y los problemas propuestos deben dirigirse al editor por correo electr nico, en espa ol o ingl s, a la direcci n arriba indicada (preferiblemente como un archivo fuente en LATEX). Las propuestas deben acompa arse de la soluci n, o al menos de informaci n su ciente que haga razonable pensar que una soluci n puede ser hallada.

Appropriate problems for this section are those which may be tackled by undergra- duate math students without specialized knowledge. Known open problems are not suitable. Original and interesting problems are preferred. Problem proposals and solutions should be e-mailed to the editor, in Spanish or English, to the address given above (preferably as a LATEX source le). Proposals should be accompanied by a solution or, at least, enough information on why a solution is likely.

1 Problemas propuestos

Los dos problemas propuestos a continuaci n se plantearon en la XXVI Olimpiada Iberoamericana de Matem tica Universitaria 2023.

1. Sea 0 < C < 1 y f : R+ → R+. Demuestre que si f (x + f (x)) ≤ Cf (x) para todo x > 0, entonces no existe a > 0 tal que f sea continua en el intervalo [a, ∞).

   2

2. Dado un n mero real t > 1, sea Ct el cuadrado de lado 2 con centro (t, t2) y lados paralelos a los ejes. Sea At el rea de la regi n Ct ∩ Γ, donde Γ = {(x, y) : y ≥ x }. Calcule el l mite de At cuando t → +∞.

2 Soluciones

Recordamos que no se han recibido soluciones a los problemas 24 25, 28, 44, 54, 79, 84 91, 94 100, 108 113, 116, 118 123, 126, 128 129, 133 143 y 145 152. Invitamos a los lectores a enviarnos sus soluciones para esos problemas.

108 Tob as Rosas Soto (ed.)

1. [8(2) (2000) p. 179.]

   1. Sea ABCD un rect ngulo tal que AB = 1cm y BC = 2cm. Sean K el punto medio de AD, L el punto de intersecci n de AC con BK y M y N los puntos medios de BK y AC respectivamente. Encontrar el rea del tri ngulo LMN .

   2. Sea ABCD un rect ngulo tal que AB = 1cm y BC = n cm. Sean C0 y D0 puntos sobre los segmentos BC y AD respectivamente, de modo que ABC0D0 es un cuadrado y E un punto del segmento BC tal que EC = 1cm. Sean L y M los puntos de intersecci n de BD0 con AC y AE respectivamente y N el punto de intersecci n de C0D0 y AC. Encontrar el rea del tri ngulo LMN .

Soluci n por Diego Andres Bellido Gonz lez (diegobellido54@ gmail. com ), estudiantes de la Licenciatura Matem ticas, Facultad de Ciencias, Universidad del Zulia, Maracaibo, Rep blica Bolivariana de Venezuela.

Figura 1: Primer rect ngulo

En la Figura 1, tenemos que ABCD es un rect ngulo y los siguientes datos AB = 1 cm, BC = 2√cm, AK =√KD, BM = MK, y AN = NC. Por Pit goras en ΔABC y ΔABK:

BK = 2 y AC = 5.

Figura 2: Tri ngulos opuestos por un v rtice

De la Figura 2 se concluye que el tri ngulo ΔLAK es semejante al tri ngulo ΔLCB. Luego:

AK 1 LA LK 1

CB = 2 ⇒

LC = LB = 2 ⇒ 2LA = LC y 2LK = LB

Tomando en cuenta este resultado, obtenemos lo siguiente:

3

CL + LA = AC ⇒ LC + LA = AC ⇒ 2LA + LA = √5 ⇒ LA = √5

Problemas y Soluciones 109

Adem s,

√

LB + LK = BK ⇒ 2LK + LK = 2 ⇒ LK = 3

Como M es punto medio de BK, por hip tesis, se tiene que:

MK =

BK

2 ⇒ ML+LK =

√2

2 ⇒ ML =

√2

2 −LK ⇒ ML =

√2 √2 √2

2 − 3 ⇒ ML = 6

Como N es punto medio de AC, por hip tesis, obtenemos que:

NA =

AC

2 ⇒ AL + LN =

√5

2 ⇒ LN =

√5 √5

2 − LA ⇒ LN = 6

Ahora, calculamos el ∠MLN :

∠MLN = 180◦ − ∠AKL − ∠KAL

Δ

Como ∠AKL = ∠AKB, y sabemos que ABK es rect ngulo e is sceles, se tiene que

∠AKL = 45◦.

Para obtener el valor de ∠MLN = ∠ACB usamos razones trigonom tricas, teniendo que:

⇒

tg(∠ACB) = 1 ∠ACB = 26, 6◦

2

Luego,

∠MLN = 180◦ − 45◦ − 26, 6◦ = 108, 4◦

Por ltimo, calculamos el rea:

2

12

12

144

A = LM · LN · sen(∠MLN ) = √2 · √5 s˙en(108, 4◦) = √10 · sen(108, 4◦)

Figura 3: Tri ngulos opuestos por un v rtice

Respecto a la Figura 3, tenemos que ABCD es un rect ngulo, ABC0D0 es un cuadrado,

AB = 1 cm, BC = n cm y EC = 1 cm.

110 Tob as Rosas Soto (ed.)

Figura 4: Tri ngulos opuestos por un v rtice

Δ Δ

Por el criterio ngulo- ngulo, el tri ngulo CNC0 es semejante al tri ngulo AND0. Luego, tenemos que:

CC0 = CN ⇒ BC — BC0 = AC — AN

AD0 AN 1 AN

√ Δ

Por Teorema de Pit goras aplicado al tri ngulo rect ngulo ABC, se tiene que AC = 1 + n2, luego

AN (n — 1) =

√1 + n2

— AN ⇒ AN · n — AN + AN =

√1 + n2

⇒ AN =

√1 + n2 n

Figura 5: Tri ngulos opuestos por un v rtice

Δ Δ

Por criterio ngulo- ngulo, el tri ngulo LD0A es semejante al tri ngulo LBC. Luego, tenemos que:

AD0 = AL

1      AL    

⇒ =

⇒ AC — AL = AL · n ⇒ AL(n + 1) = AC

BC CL

n AC — AL

AL =

√1 + n2

√1 + n2 n + 1

√1 + n2

√1 + n2

LN = AN — AL =

n — n + 1 ⇒ LN = n(n + 1)

Problemas y Soluciones 111

Figura 6: Tri ngulos opuestos por un v rtice

Por criterio ngulo- ngulo, tenemos que el tri ngulo ΔMAD0 es semejante al tri ngulo

ΔMEB, luego D M AD

D M 1

  0     =     0

⇒          0             =

BM BE BD0

Adem s, por el teorema de Pit goras, BD0 = √2.

0

0

0

0

n

D M (n — 1) = √2 — D M ⇒ D M. n = √2 ⇒ D M = √2

Tomando en cuenta la Figura 5, tenemos:

D0L = 1

   D0L     1

⇒ =

⇒ D L. n = BD — D L ⇒ D L(n + 1) = BD

BL n

BD0 — D0L n

0 0 0 0 0

√2

Luego,

D0L = n + 1

√2 √2 √2

LM = D0M — D0L ⇒ LM =

n — n + 1 ⇒ LM = n(n + 1)

Figura 7: Tri ngulos opuestos por un v rtice

n

n

ABC0D0 es un cuadrado, por lo que ∠LBC = 45◦. Por razones trigonom tricas:

1

n

tg(α) =

⇒ α = tg−1 1 ⇒ ∠NLM = ∠CLB = 180◦ — tg−1 1 — 45◦

112 Tob as Rosas Soto (ed.)

n

∠NLM = 135◦ — tg−1 1

Δ

De esta manera, se puede calcular el rea del LMN sustituyendo los valores obtenidos en la siguiente f rmula:

1

A = 2 · LM · LN · sen(α)

1 √1 + n2 √2

• −1 1

A = 2 · n(n + 1) · n(n + 1) · sen

135 — tg n

√2 √1 + n2

• −1 1

A = 2 · n2(n + 1)2 · sen

135 — tg n