Divulgaciones
Matemáticas
p-ISSN 1315-2068
Depósito legal: pp 199302ZU392
Maracaibo - Venezuela
Departamento de Matemática
Vol. 23-24 - No. 1-2 - 2022-2023
Facultad
Experimental
de Ciencias
Universidad
del Zulia
e-ISSN 2731-2437
Divulgaciones Matemáticas
Revista Matemática de la Universidad del Zulia
Facultad Experimental de Ciencias
Departamento de Matemática
Revista arbitrada, publicada de forma digital, de libre acceso, indizada en Latindex, Wordcat,
Mir
@
bel, MIAR, Dialnet, EuDML, Mathematical Reviews, MathSci online/CD-ROM, Zentral-
blatt für Mathematik, Revencyt y REDIB. Se publica un volumen anual compuesto por dos
números, que aparecen en junio y diciembre.
Comité Editorial
Dr. Tobías Rosas Soto (LUZ)
Dr. Vinicio Ríos (LUZ) Dr. Wilson Pacheco (LUZ)
Dr. Deivi Luzardo (LUZ)
Editor Jefe:
Dr. Tobías Rosas Soto (
trosas@demat-fecluz.org
)
Editores Asociados:
Dr. Vinicio Ríos, Dr. Wilson Pacheco
Editores Eméritos:
Dr. Alirio J. Peña P., MSc. Ángel V. Oneto R., Dr. José H. Nieto S., Dr.
Genaro González, Dr. Daniel Núñez.
Editore Fundadores:
Dr. Alirio J. Peña P., MSc. Ángel V. Oneto R.
Portada diseñada por Tobías Rosas Soto. Dirección Postal:
Revista Divulgaciones Matemáticas
Departamento de Matemática
Facultad Experimental de Ciencias
La Universidad del Zulia - Apartado Postal 526
Maracaibo, Estado Zulia
Venezuela
Correo electrónico:
divulgaciones@demat-fecluz.org
URL:
produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones
Depósito Legal pp 199302ZU392
p-ISSN: 1315-2068
Depósito Legal pe ZU2021000035
e-ISSN: 2731-2437
Compuesta con L
A
T
E
X y
A
M
S
-L
A
T
E
X en el Departamento de Matemática de la Facultad Experi-
mental de ciencias, Universidad del Zulia.
c
1993 La Universidad del Zulia.
Universidad del Zulia
Maracaibo, Venezuela
DIVULGACIONES
MATEM
´
ATICAS
Vol. 23-24
2022-2023
No. 1-2
Presentación
El Comité Editorial de
Divulgaciones Matemáticas
se complace en presentar el
Vol. 23-
24
,
No. 1-2
,
2022-2023
. En el presente volumen se resumen todos los artículos recibidos entre
los años
2022
y
2023
, los mismos fueron evaluados y aceptados para su publicación. Esta edición
nace como una decisión del Comité Editorial en busca de revivir las actividades de la revista, las
cuales se han visto menguadas por la poca demanda de artículos por parte de los autores por
diversas razones. Entre éstas gura el hecho de que la revista no aparece reejada en SCOPUS,
por la no continuidad de publicación de números y volúmenes de la revista, por la falta de tra-
bajos sometidos a la revista paradójicamente.
Los trabajos publicados en esta edición mostrarán la fecha en la que se recibieron y la fecha
en la que fueron aprobados. Todos los trabajos recibidos en los años 2022 y 2023 fueron artículos
de investigación, dichos trabajos se distribuyen de la siguiente manera: cuatro (4) artículos en
el año 2022, y cinco (5) artículos en el año 2023. En cada año solo un artículo, de los recibidos,
no aprobó la etapa de evaluación por los árbitros respectivos. De manera que en este número se
publican solo siete (7) artículos en la sección de Artículos de Investigación. Por otro lado, en la
sección de Problemas y Soluciones, se proponen dos (2) problemas, y se presenta la solución del
problema No. 27 propuesto en Vol. 8, No. 2, 2000 de la revista.
El trabajo editorial relacionado con este número es el resultado de mucho esfuerzo del Comité
Editorial y del Editor Jefe de la revista. Los Editores queremos expresar nuestro agradecimiento
a todos aquellos que hicieron posible este volumen: a los autores de los trabajos que se presentan,
que dieron su voto de conanza a la revista; a los árbitros que evaluaron los artículos, cuya labor
desinteresada permitió satisfacer los estándares de calidad de la revista y mejorar sensiblemente la
forma de los trabajos; al equipo editorial de
Divulgaciones Matemáticas
. A todos, mil gracias.
La revista está ahora en el portal de
Revistas Cientícas y Humanísticas de la Univer-
sidad del Zulia (ReviCyHLUZ)
cuyo sitio web ocial es:
produccioncientificaluz.org
.
Ahora los artículos están identicados con el membrete del
Sistema de Servicios Bibliote-
carios y de Información de LUZ (SERBILUZ)
, y la revista pasa a tener como sitio web
ocial
produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones
.
Es importante aclarar que la dirección web
divmat.demat-fecluz.org
continúa funcionando
para obtener los números de la revista publicados antes del año 2016, hasta que los mismos sean
trasladados en su totalidad al nuevo sitio web mencionado. Todo esto con la nalidad de darle
más expansión y reconocimiento a la revista.
Por último, el Comité Editorial de
Divulgaciones Matemáticas
pide disculpas a los autores
de los artículos aquí publicados por el notable retraso en la publicación de este número y por los
inconvenientes que esto pudo haberles causados, les agradecemos su espera. Además, invitamos
a la comunidad matemática venezolana e internacional a seguir dándonos su voto de conanza
sometiendo sus trabajos en la revista para evaluación y posible publicación.
1
Dr. Tobías Rosas Soto.
1
Editor en Jefe de
Divulgaciones Matemáticas
y editor del presente número
Presentation
The Editorial Committee of
Divulgaciones Matemáticas
is pleased to present
Vol. 23-
24
,
No. 1-2
,
2022-2023
. This volume brings together all the articles received between the years
2022
and
2023
, they were evaluated and accepted for publication. This edition was born as a
decision of the Editorial Committee in search of reviving the activities of the journal, which have
been diminished by the low demand for articles by the authors for various reasons. Among these
is the fact that the journal is not reected in SCOPUS, due to the non-continuity of publication of
issues and volumes of the journal, due to the lack of works submitted to the journal, paradoxically.
The works published in this edition will show the date they were received and the date they
were approved. All the works received in the years 2022 and 2023 were research articles, these
works are distributed as follows: four (4) articles in the year 2022, and ve (5) articles in the
year 2023. In each year only one article, of those received, did not pass the evaluation stage
by the respective referees. So in this issue only seven (7) articles are published in the Research
Articles section. On the other hand, in the Problems and Solutions section, two (2) problems are
proposed, and the solution to problem No. 27 proposed in Vol. 8, No. 2, 2000 of the magazine
is presented.
The editorial work related to this issue is the result of much eort by the Editorial Committee
and the Editor-in-Chief of the journal. The Editors would like to express our gratitude to all
those who made this volume possible: to the authors of the works presented, who gave their vote
of condence to the journal; to the referees who evaluated the articles, whose seless work made
it possible to satisfy the quality standards of the journal and signicantly improve the form of
the works; to the editorial team of
Divulgaciones Matemáticas
. Thank you all.
The journal is now on the portal of
Scientic and Humanistic Magazines of the
University of Zulia (ReviCyHLUZ)
whose ocial website is:
produccioncientificaluz.
org
. Now the articles are identied with the letterhead of the
LUZ Library and Infor-
mation Services System (SERBILUZ)
, and the journal now has as its ocial website
produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones
.
It is important to clarify that the web address
divmat.demat-fecluz.org
continues to func-
tion to obtain the issues of the journal published before 2016, until they are transferred in their
entirety to the new website mentioned. All this with the purpose of giving more expansion and
recognition to the journal.
Finally, the Editorial Committee of
Divulgaciones Matemáticas
apologizes to the authors
of the articles published here for the notable delay in the publication of this issue and for the
inconveniences that this may have caused them, we thank them for their wait. Furthermore, we
invite the Venezuelan and international mathematical community to continue giving us their vote
of condence by submitting their work to the journal for evaluation and possible publication.
2
Dr. Tobías Rosas Soto.
2
Chief Editor of
Divulgaciones Matemáticas
and editor of the present volume
DIVULGACIONES MATEMÁTICAS
Vol. 23-24, No. 1-2, 2022-2023
Contenido
(Contents)
:
Artículos de Investigación
(Research papers)
Super quasi-topological and paratopological vector spaces versus topolog-
ical vector spaces.
Super casi-topológicos y paratopológicos espacios vectoriales versus espacios vectori-
ales topológicos.
Madhu Ram, Bijan Davvaz
111
Los números Ramsey para tres grafos y tres colores.
The Ramsey numbers for three graphs and three colors.
José Figueroa, Tobías Rosas, Henry Ramírez, Armando Anselmi
1228
Estudio cualitativo del metabolismo de una droga ingerida.
Qualitative study of the metabolism of an ingested drug.
Berónica Aguilar - Adolfo Fernández - Sandy Sánchez - Antonio Ruiz
2943
T op(X)
y
Spec(τ )
como espacios primales.
T op(X)
and
Spec(τ )
as primal spaces.
Viviana Benavides - Jorge Vielma
4453
Grafo divisor de cero de
Z
2
r
q
s
.
Zero divisor graph of
Z
2
r
q
s
.
Juan Otero - Daniel Brito - Tobías Rosas
5463
Un método nuevo para eliminar la indeterminación en los problemas sin-
gularmente perturbados con resonancia de Ackerberg y O'Malley.
A new method for eliminating the indeterminacy in the singularly perturbed problems
with Ackerberg-O'Malley resonance.
Jacques Laforgue
6481
Boundary Estimation with the Fuzzy Set Regression Estimator.
Estimación Frontera con el Estimador de Regresión con Conjunto Difuso.
Jesús Fajardo
82106
Problemas y Soluciones
(Problems and Solutions)
Tobías Rosas Soto.
(Editor) 107112
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 1–11
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.11515886
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
Super quasi-topological and paratopological
vector spaces versus topological vector spaces
Super casi-topol´ogicos y paratopol´ogicos espacios vectoriales versus espacios
vectoriales topol´ogicos
Madhu Ram (madhuram0502@gmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6583-0978
Department of Mathematics
University of Jammu
Jammu-180006, Jammu & Kashmir, India.
Bijan Davvaz (davvaz@yazd.ac.ir)
Department of Mathematics
Yazd University
Iran.
Abstract
In this paper, we introduce the idea of super quasi-topological vector space which is
an extension of the concept of topological vector space and investigate some of its basic
properties. We extend the existing notion of quasi-topological vector space to all complex
vector spaces and investigate the relationship of super quasi-topological vector spaces with
paratopological and quasi-topological vector spaces.
Palabras y frases clave: Topological vector space, paratopological vector space, quasi-
topological vector space, super quasi-topological vector space, quotient space.
Resumen
En este art´ıculo, presentamos la idea del espacio vectorial supercuasitopol´ogico, que es
una extensi´on del concepto de espacio vectorial topol´ogico, e investigamos algunas de sus
propiedades b´asicas. Extendemos la noci´on existente de espacio vectorial cuasi-topol´ogico
a todos los espacios vectoriales complejos e investigamos la relaci´on de los espacios vecto-
riales s´uper cuasi-topol´ogicos con los espacios vectoriales paratopol´ogicos y cuasi-topol´ogicos.
Key words and phrases: Espacio vectorial topol´ogico, espacio vectorial paratopol´ogico,
espacio vectorial cuasi-topol´ogico, espacio vectorial supercuasi-topol´ogico, espacio cociente.
1 Introduction
Recall that a paratopological group is a group G with a topology such that the group operation
of G is continuous. If in addition, the inversion map in a paratopological group is continuous,
then it is called a topological group.
Recibido 11/03/2022. Revisado 7/04/2022. Aceptado 21/09/2022.
MSC (2010): Primary 57N17; Secondary , 57N99.
Autor de correspondencia: Madhu Ram
2 Madhu Ram - Bijan Davvaz
According to [2], a real vector space L endowed with a topology τ such that (L, +, τ ) is a
paratopological group, is called:
(1) paratopological vector space if for each neighborhood U of λx with x ∈ L and λ ∈ R
+
(the
set of non-negative real numbers), there exist a neighborhood V of x and an > 0 such
that [λ, λ + [.V ⊆ U.
(2) quasi-topological vector space if the function H
r
: L → L defined by H
r
(x) = rx with
r ∈ R
+
, is continuous.
Hence, all translations and dilations of a paratopological (resp. quasi-topological) vector
space are homeomorphisms. For more details, see [1] and [2]. Paratopological vector spaces were
discussed and many results have been obtained (for example, see [1], [2], [3] and [4]).
Lemma 1.1. (cf. [2]) For a real vector space L with a topology τ, the following conditions are
equivalent.
I. (L, τ ) is a paratopological vector space.
II. There exists a local basis B at 0 of L satisfying the following conditions:
(a) for every U, V ∈ B, there exists W ∈ B such that W ⊆ U ∩ V ;
(b) for each U ∈ B, there exists V ∈ B such that V + V ⊆ U ;
(c) for each U ∈ B and for each x ∈ U, there exists V ∈ B such that x + V ⊆ U;
(d) for each U ∈ B and for each r > 0, rU ∈ B;
(e) each U ∈ B is absorbent and quasi-balanced.
Motivated by the papers [2] and [3], the aim of this paper is to introduce and study the
super quasi-topological vector spaces. Relationship of super quasi-topological vector spaces with
paratopological, quasi-topological and topological vector spaces is investigated.
In the following, all vector spaces are over the field F ∈ {R, C}. For any undefined concepts
and terminologies, refer to [8].
2 Relationship among various classes of topological vector
spaces
In this section, we define super quasi-topological vector space and extend the definition of
paratopological and quasi-topological vector space to all complex vector spaces. Then we in-
vestigate the relation between super quasi-topological, quasi-topological, paratopological and
topological vector spaces.
Definition 2.1. Let L be a vector space that is equipped with a topology τ such that (L, +, τ)
is a paratopological group. We say that (L, τ ) is
1. paratopological vector space if for each neighborhood U of rx with x ∈ L and r ∈ R
+
(the
set of non-negative real numbers), there exist a neighborhood V of x and an > 0 such
that [r, r + [.V ⊆ U;
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 1–11
Super quasi-topological and paratopological vector spaces versus topological vector spaces 3
2. quasi-topological vector space if the function ϕ
r
: L → L defined by ϕ
r
(x) = rx with r ∈ R
+
,
is continuous;
3. super quasi-topological vector space if the function ϕ
r
: L → L defined by ϕ
r
(x) = rx with
r ∈ R, is continuous.
Proposition 2.1. There is a first countable locally connected quasi-topological vector space which
is not a super quasi-topological vector space.
Proof. Suppose that the complex vector space C × C is endowed with the topology which has a
base of the sets of the form D
r
×D
s
where D
r
= {
1
√
2
(x−y)+
i
√
2
(x+y): x, y ∈ R, x ≥ r, i
2
= −1},
D
s
= {s + iy : y ∈ R, i
2
= −1} and r, s ∈ R. Then C × C is a first countable locally connected
quasi-topological vector space but it is not a super quasi-topological vector space. Furthermore,
C × C is not a paratopological vector space. Also, it is neither a second countable nor a lindelof
space.
Proposition 2.2. There is a first countable non-connected quasi-topological vector space which
is not a paratopological vector space.
Proof. Endow the complex vector space C with the topology generated by the family of sets of
the form D
r
= {
1
√
2
(x − r) +
i
√
2
(x + r): x ∈ R, i
2
= −1}, with r ∈ R. Then C is first countable
non-connected quasi-topological vector space. Observe that C is not a paratopological vector
space.
Proposition 2.3. There is a first countable connected paratopological vector space which is not
a topological vector space.
Proof. Consider the topology on the complex vector space C × C which has a base of the sets
of the form P
r
× Q
s
, where P
r
= {
1
√
2
(x − y) +
i
√
2
(x + y): x, y ∈ R, x > r, i
2
= −1},
Q
s
= {x + iy : x, y ∈ R, y > s, i
2
= −1} and r, s ∈ R. Then C × C with this topology is a
first countable connected paratopological vector space which is not a topological vector space.
Moreover, it is second countable as well as lindelof space.
Proposition 2.4. There is a first countable non-connected super quasi-topological vector space
which is not a paratopological vector space.
Proof. Obtain the topology on the complex vector space C by the family of sets of the form
Q
r
= {
1
2
(r −
√
3y) +
i
2
(
√
3r + y): y ∈ R, i
2
= −1}, with r ∈ R. Then C with this topology
is a first countable super quasi-topological vector space, but it is not a paratopological vector
space.
Proposition 2.5. There is a first countable connected real quasi-topological vector space which
is not a super quasi-topological vector space.
Proof. Consider the topology on the real vector space R generated by the family of sets of the form
[a, + ∞), with a ∈ R. Then R with this topology is a first countable connected quasi-topological
vector space which is not a super quasi-topological vector space.
Proposition 2.6. Let (L, τ ) be a complex paratopological vector space. Then (L, τ
θ
) is also a
paratopological vector space where τ
θ
= {e
iθ
U : U ∈ τ, 0 ≤ θ ≤ 2π}.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 1–11
4 Madhu Ram - Bijan Davvaz
Proof. Let x and y be any two elements of L, and e
iθ
D an open neighborhood of x + y (with
respect to the topology τ
θ
). Then there exist a neighborhood U of e
−iθ
x and a neighborhood V
of e
−iθ
y (with respect to the topology τ ) such that U + V ⊆ D. As e
−iθ
x ∈ U and e
−iθ
y ∈ V ,
we have x ∈ e
iθ
U and y ∈ e
iθ
V . This gives
x + y ∈ e
iθ
(U + V ) ⊆ e
iθ
D.
Let r be any non-negative real number and e
iθ
U an open neighborhood of rx (with respect to
the topology τ
θ
). Then there exist a neighborhood V of e
−iθ
x (with respect to the topology τ)
and an > 0 such that [r, r + [.V ⊆ U which implies that rx ∈ [r, r + [.e
iθ
V ⊆ [r, r + [.e
iθ
U.
Thus (L, τ
θ
) is a paratopological vector space.
Proposition 2.7. Let (L, τ ) be a complex quasi-topological vector space. Then (L, τ
θ
) is also
a quasi-topological vector space where τ
θ
= {e
iθ
U : U ∈ τ, 0 ≤ θ ≤ 2π}.
Proof. Follows in a similar way as the proof of Proposition 2.6.
Proposition 2.8. Let (L, τ ) be a complex super quasi-topological vector space. Then (L, τ
θ
) is
also a super quasi-topological vector space where τ
θ
= {e
iθ
U : U ∈ τ, 0 ≤ θ ≤ 2π}.
Proof. Follows in a similar way as the proof of Proposition 2.6.
Definition 2.2. We say that a quasi-topological vector space (L, τ ) is strong if it satisfies the
following conditions:
1. there exists a topology = on L such that (L, =) is a topological vector space with = ⊆ τ ,
and
2. there exists a local base B at the zero vector of the quasi-topological vector space (L, τ )
such that V \{0} is open in (L, =) for every V ∈ B.
Proposition 2.9. There exists a first countable non-connected strong quasi-topological vector
space which is not second countable.
Proof. Consider the real vector space R endowed with the topology τ which has a base of the
sets of the form (a, b) and [c, + ∞), where a, b and c are real numbers. Then (R, τ ) is a first
countable strong quasi-topological vector space. Clearly, it is neither a connected space nor a
second countable space.
Proposition 2.10. There exists a first countable non-connected quasi-topological vector space
which is not strong.
Proof. Consider the complex plane C endowed with the topology τ which has a base of the sets
of the form D(z, r) and D
t
where D(z, r) denotes the open disk with center z and radius r, and
D
t
= {z ∈ C : Re(z) ≥ t, t ∈ R}. Then (C, τ) is a quasi-topological vector space which is not
strong.
Proposition 2.11. There exists a regular super quasi-topological vector space which is not strong.
Proof. Let C and τ be as in Proposition 2.5. Then C is not a strong quasi-topological vector
space.
Proposition 2.12. There exists a Hausdorff strong quasi-topological vector space which is not a
super quasi-topological vector space.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 1–11
Super quasi-topological and paratopological vector spaces versus topological vector spaces 5
Proof. Let R and τ be as in Proposition 2.11. Then R is not a super quasi-topological vector
space.
The following result collects the above information and shows that the class of paratopological
vector spaces and the class of quasi-topological vector spaces are sufficiently wide.
Theorem 2.1. The following statements are valid.
1. The class of quasi-topological vector spaces contains the class of super quasi-topological,
strong quasi-topological, paratopological and topological vector spaces.
2. The class of super quasi-topological vector spaces contains the class of topological vector
spaces.
3. The class of super quasi-topological vector spaces is independent of the class of paratopolog-
ical vector spaces.
3 Basic properties of super topological vector spaces
In this section, we investigate some basic properties of super quasi-topological vector spaces. By
definition, every topological vector space is a super quasi-topological vector space, so our results
on a super quasi-topological vector space can be viewed as either improvements or extensions of
results in topological vector spaces. When we say that a topology τ is a super quasi-topology on
a vector space L, we mean that (L, τ) is a super quasi-topological vector space.
Theorem 3.1. For a super quasi-topology τ on a vector space L, x ∈ L and a non-zero real r,
the following hold:
1. the function T
x
: L → L defined by T
x
(y) = x + y is a homeomorphism;
2. the function H
r
: L → L defined by H
r
(x) = rx is a homeomorphism.
Consequently for any subset P of L, we have Cl(x + P ) = x + Cl(P ); Int(x + P ) = x + Int(P );
Cl(rP ) = rCl(P ); Int(rP ) = rInt(P) and for any open (closed) subset Q of L, x + Q and rQ
are open (closed).
Corollary 3.1. Every super quasi-topological vector space is a homogeneous space.
A subset A of a super quasi-topological vector space L is called semi-balanced if for each
x ∈ A, λx ∈ A whenever −1 ≤ λ ≤ 1. It is semi-absorbent if for each x ∈ L, there is a real r > 0
such that λx ∈ A for each real λ satisfying −r < λ < r. Moreover, A is called bounded if for
every neighborhood U of 0, there is a real t > 0 such that A ⊆ sU for all reals s satisfying |s| ≥ t.
As a consequence of Theorem 3.1, it can be shown in a similar way to that of topological
vector spaces, the following result:
Theorem 3.2. Suppose that (L, τ ) is a super quasi-topological vector space, x ∈ L, 0 6= r ∈ R
and A, B are subsets of L. The following assertions are valid:
1. A is open if and only if x + A and rA are open;
2. A is closed if and only if x + A and rA are closed;
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 1–11
6 Madhu Ram - Bijan Davvaz
3. A is compact if and only if x + A and rA are compact;
4. if A is convex, then so are Cl(A) and Int(A);
5. if A is semi-balanced, then so is Cl(A);
6. if A and B are compact, then A + B is compact;
7. if A and B are connected, then A + B is connected;
8. if A and B are bounded, then so are Cl(A) and A ∪ B;
9. any finite subset of L is bounded.
Theorem 3.3. Let τ be a super quasi-topology on a vector space L. There exists a local base B
at the origin satisfying the following conditions:
1. for every U, V ∈ B, there is W ∈ B such that W ⊆ U ∩ V ;
2. for each U ∈ B, there is V ∈ B such that V + V ⊆ U ;
3. for each U ∈ B, there is a symmetric V ∈ B such that V + V ⊆ U;
4. for each U ∈ B and for each x ∈ U, there is V ∈ B such that x + V ⊆ U;
5. for each U ∈ B and r ∈ R, there is V ∈ B such that rV ⊆ U and V r ⊆ U.
Conversely, let L be a vector space and let B be a family of subsets of L satisfying (1)-(5) and
that each member of B contains the origin. Then there is a super quasi-topology on L with B as
a base of neighborhoods of the origin.
Proof. From Definition 2.1, and Theorem 3.1, it is easy to check that conditions (1)-(5) hold.
To prove the converse part, let B be a family of subsets of L satisfying the conditions (1)-(5)
and that each member of B contains 0. Let = = {W ⊆ L: for every x ∈ W, there exists U ∈ B
such that x + U ⊆ W }.
Claim 1. = is a topology on L.
Clearly, L ∈ = and ∅ ∈ =. It is also easy to see that = is closed under unions. To show that
= is closed under finite intersections, let P, Q ∈ = and let x ∈ P ∩ Q. Then there exist U, V ∈ B
such that x + U ⊆ P and x + V ⊆ Q. From condition (1), it follows that there exists O ∈ B such
that O ⊆ U ∩ V . Then x + O ⊆ P ∩Q. Hence P ∩ Q ∈ =, and = is a topology on L.
Claim 2. If W ∈ B and x ∈ L, then x + W ∈ =.
Let y ∈ x + W be an arbitrary element. Then −x + y ∈ W . From condition (4), it follows
that there exists U ∈ B such that −x + y + U ⊆ W . This means that y + U ⊆ x + W . Hence
x + W ∈ =.
Claim 3. The family T
B
= {x + U : x ∈ L, U ∈ B} is a base for the topology = on L.
Obviously, it follows from Claim 2.
Claim 4. The vector addition mapping in L is continuous with respect to the topology =.
Let x, y be arbitrary elements of L and let W be an element of = such that x + y ∈ W . Then
there exists U ∈ B such that x + y + U ⊆ W . For U, there is V ∈ B such that V + V ⊆ U by
condition (2). Then x + V and y + B be two elements of T
B
containing x and y, respectively
such that
(x + V ) + (y + V ) ⊆ x + y + V + V ⊆ x + y + U ⊆ W.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 1–11
Super quasi-topological and paratopological vector spaces versus topological vector spaces 7
This ends claim 4.
Claim 5. The function H
r
: L → L defined by H
r
(x) = rx is continuous with r ∈ R.
Let W be an element of = containing rx with x ∈ L. Then there exists U ∈ B such that
rx + U ⊆ W . By condition (5), there is V ∈ B such that rV ⊆ U. Then r(x + V ) = rx + rV ⊆
rx + U ⊆ W . This shows that H
r
is continuous.
Theorem 3.4. Let (L, τ ) be a super quasi-topological vector space. If V is the neighborhood filter
of the origin, then for each x ∈ L, F(x) = {x + V : V ∈ V} is the neighborhood filter of the point
x. Consequently, a topology of a super quasi-topological vector space is completely determined by
the neighborhood filter of the origin.
Theorem 3.5. Let (L, τ ) be a super quasi-topological vector space. If N is the neighborhood
filter of the origin, then for every A ⊆ L, Cl(A) =
T
{A + U : U ∈ N}.
Proof. Suppose that x ∈ U + A for each U ∈ N, and let W be a neighborhood of x. By Theorem
3.4, there is a symmetric V ∈ N such that x + V ⊆ W . By assumption, there is some a ∈ A such
that x ∈ a + V . Since V is symmetric, a ∈ A ∩ (x + V ). Thus, x ∈ Cl(A).
Conversely, if x ∈ Cl(A), then every neighborhood U + x, U ∈ N, contains a point of A, so
for some u ∈ U, x + u ∈ A. Without loss of generality, we assume that U is symmetric. Then
x ∈ A + U . It ends the proof.
Theorem 3.6. Let (L, τ) be a super quasi-topological vector space and N the neighborhood filter
of zero in L.
1. The open symmetric neighborhoods of the origin form a fundamental system of neighbor-
hoods of the origin.
2. The closed symmetric neighborhoods of the origin form a fundamental system of neighbor-
hoods of the origin.
Proof. (1) Simple.
(2) If V is a neighborhood of zero, then there is U ∈ N such that U +U ⊆ V . By Theorem 3.6,
Cl(U) ⊆ U + U. Thus, V contains a closed neighborhood of zero. If P is a closed neighborhood
of zero, P ∩(−P ) is a closed symmetric neighborhood of zero contained in V by Theorem 3.1.
Example 3.1. Consider the real vector space C = {x+iy : x, y ∈ R, i
2
= −1} where the addition
and multiplication operation of C are the usual addition and multiplication of complex numbers.
Endow C with the topology which has a base of the sets of the form D
r
= {r+ix : y ∈ R, i
2
= −1},
with r ∈ R (the set of real numbers). Then C with this topology is a super quasi-topological vector
space which is neither a paratopological vector space nor a topological vector space.
Theorem 3.7. Let (L, τ) be a super quasi-topological vector space. Then the following conditions
are equivalent:
1. {0} is closed;
2. {0} is the intersection of neighborhoods of the origin;
3. L is Hausdorff.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 1–11
8 Madhu Ram - Bijan Davvaz
Proof. By Theorem 3.6, (1) and (2) are equivalent. (3) ⇒ (2) is obvious. Let x, y be two
elements of L such that x 6= y. Then x − y 6= 0. By part (2), there is a neighborhood V of
0 such that x − y /∈ U . By Theorem 3.4, there is a symmetric neighborhood V of 0 such that
V + V ⊆ U. Then it is easy to check that x + V and y + V are disjoint neighborhoods of x and
y, respectively. It ends the proof.
Example 3.2. Consider the vector space C as in Example 3.8. For each z
0
∈ C, with y
0
=
Im(z
0
), denote by L
y
0
= {x + iy
0
: x ∈ R, i
2
= −1}, the horizontal line passing through y
0
, and
B
(z
0
), the open ball with center z
0
and radius . Let
U
y
0
, z
0
,
= L
y
0
∩ B
(z
0
) (3.1)
Obtain the topology on C generated by the family of sets of the form (3.1). Then C is a
Hausdorff super quasi-topological vector space which is not a paratopological vector space.
Example 3.3. Let L be the vector space of all continuous functions on (0, 1). For ϕ ∈ L and
> 0, let U(ϕ, ) = {h ∈ L: |h(x) − ϕ(x)| < , for all x ∈ (0, 1)}. Obtain the topology on
L that these sets U(ϕ, ) generate. Then L with this topology is a super quasi-topological vector
space, but not a topological vector space.
Theorem 3.8. If M is a subspace of a super quasi-topological vector space L, then Cl(M) is
a vector subspace of L over the field of reals. Furthermore, if L is a dense vector subspace of a
super quasi-topological vector space E and if M is a vector subspace of L, then the closure of M
in E is a vector subspace of E over the field of reals.
Proof. Follows from Theorem 3.1.
Theorem 3.9. Let (L, τ) be a super quasi-topological vector space. If C is the connected com-
ponent of the origin and r a non-zero real, then
1. x + C and rC are connected for each x ∈ L;
2. C is a vector subspace of L over the field of reals.
Proof. Straightforward.
A topological space X is totally disconnected if for each x ∈ X, the singleton {x} is connected
component of X. By Theorem 3.6, a super quasi-topological vector space is totally disconnected
if and only if {0} is the connected component of 0.
Theorem 3.10. Let ϕ be a linear map from a super quasi-topological vector space L to a super
quasi-topological vector space E, and let V be the neighborhood filter of the origin in L.
1. ϕ is continuous if and only if it is continuous at 0.
2. ϕ is open if and only if for every V ∈ V, ϕ(V ) is a neighborhood of 0 in E.
Proof. Follows from Theorem 3.1.
Theorem 3.11. If a vector subspace M of a super quasi-topological vector space L has an interior
point, then M is open.
Proof. Let x be an element of M and V a neighborhood of 0 in L such that x + V ⊆ M. Then
for any s ∈ M , we have
s + V = (s −x) + (x + V ) ⊆ M.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 1–11
Super quasi-topological and paratopological vector spaces versus topological vector spaces 9
4 Quotients of super quasi-topological vector spaces
A super quasi-topology on vector space L clearly induces a topology on any vector subspace of
L making it a super quasi-topological vector space, and unless the contrary is mentioned, we
shall assume that a vector subspace of a super quasi-topological vector space is furnished with
its induced topology.
Let M be a vector subspace of a super quasi-topological vector space L. Then there is the
canonical map π of L onto L/M , which induces a topology on L/M, called the quotient topology.
Given a vector subspace M of a super quasi-topological vector space L and x ∈ L, denote by
π(x) or ˜x, the coset of M that contains x.
Theorem 4.1. If M is a vector subspace of a super quasi-topological vector space L, then the
quotient map π from L onto L/M is linear, continuous and open.
Proof. The continuity and linearity of π are obvious. Let V be an open subset of L. Since the
map x 7→ a + x from L to L, with a ∈ L is a homeomorphism, π
−1
(π(V )) = V + M, an open
subset of L, so π(V ) is open in L/M.
Theorem 4.2. If M is a vector subspace of a super quasi-topological vector space L, then L/M
is a super quasi-topological vector space.
Proof. Let π(x) and π(y) be two elements of L/M, and let U be an open neighborhood of π(x+y).
Then π
−1
(U) is an open neighborhood of x + y in L, so there exist open neighborhoods V
1
and V
2
of x and y, respectively in L such that V
1
+ V
2
⊆ π
−1
(U). Then π(V
1
) + π(V
2
) ⊆ U. By Theorem
4.1, π(V
1
) and π(V
2
) are open sets in L/M and hence the addition map (π(x), π(y)) 7→ π(x + y)
from L/M × L/M to L/M is continuous.
Let r be any real number. We have to show that the map π(x) 7→ π(rx) from L/M to L/M is
continuous. As L is a super quasi-topological vector space, so for any neighborhood U of π(rx),
there exists an open neighborhood V of x in L such that rV ⊆ π
−1
(U). Then rπ(V ) ⊆ U. It
ends the proof.
Theorem 4.3. If V is the neighborhood filter of 0 in a super quasi-topological vector space L, and
if M is a vector subspace of L, then π(V) is the neighborhood filter of
˜
0 for the quotient topology
of L/M.
Proof. By Theorem 4.1, π(V ) is a neighborhood of
˜
0 in L/M for each V ∈ V. Conversely, if U
is a neighborhood of
˜
0 in L/M, then π
−1
(U) is a neighborhood of 0 in L; so there is V ∈ V such
that V ⊆ π
−1
(U). Thus, π(V ) ⊆ U.
Theorem 4.4. Let M be a vector subspace of a super quasi-topological vector space L.
1. L/M is Hausdorff if and only if M is closed.
2. L/M is discrete if and only if M is open.
Proof. Straightforward.
Theorem 4.5. If M and N are vector subspaces of a super quasi-topological vector space L such
that N ⊆ M , then the quotient topology of M/N is identical with the subspace topology of M/N .
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 1–11
10 Madhu Ram - Bijan Davvaz
Proof. Since M is a vector subspace of L, it is a super quasi-topological vector space with the
topology induced by the topology of L. Let ϕ and π be the canonical mappings from M to M/N
and from L to L/N, respectively. Let U be open for the quotient topology of M/N. Then ϕ
−1
(U)
is open in M, so ϕ
−1
(U) = M ∩ V where V is an open subset of L.
Claim: U = (M/N) ∩ π(V ).
Let η ∈ (M/N) ∩ π(V ). Then η = x + N for some x ∈ M and η = v + N for some v ∈ V .
This implies that v − x ∈ N, so v ∈ x + N ⊆ M + N = M . Therefore, v ∈ M ∩ V = ϕ
−1
(U), so
η = v + N ∈ U . Clearly, U ⊆ (M/N) ∩ π(V ) and the claim follows.
Now let A be open in M/N for the topology on M/N induced by the quotient topology of
L/N. Then A = (M/N) ∩B for some open subset B of L/N. Obviously, ϕ
−1
(A) = M ∩π
−1
(B)
is an open subset of M . This means that A is open for the quotient topology of M/N.
Corollary 4.1. If M and N are vector subspaces of a super quasi-topological vector space L, then
the quotient topology on (M + N)/N is identical with the topology on it induced by the quotient
topology of L/N.
Theorem 4.6. Let f be a linear map from a super quasi-topological vector space L to a super
quasi-topological vector space E, and let M be a vector subspace of L that is contained in the
kernel of f. The linear map g from L/M to E satisfying g ◦ π = f is continuous (open) if and
only if f is continuous (open).
Proof. The necessity part follows from Theorem 4.1. Conversely, assume f is continuous. Let U
be a neighborhood of 0 in E. Then g
−1
(U) = π ◦ f
−1
(U), so g is continuous at 0. By Theorem
3.14, g is continuous.
Theorem 4.7. If M is a vector subspace of a super quasi-topological vector space L, and if M
and L/M are both Hausdorff, then L is Hausdorff.
Proof. Let x be an element of L such that x 6= 0 and let x ∈ U for each U ∈ V, the neighborhood
filter of 0 in L. Since M is Hausdorff, x /∈ M . Then x + M and M are two distinct elements of
L/M. As L/M is Hausdorff, there are disjoint open sets A and B for the quotient topology of
L/M containing x + M and M , respectively. By Theorem 3.14, π
−1
(A) is a neighborhood of x
and π
−1
(B) is a neighborhood of 0 in L. By assumption, x ∈ π
−1
(B), so x ∈ π
−1
(A) ∩ π
−1
(B),
a contradiction. By Theorem 3.9, L is Hausdorff.
Theorem 4.8. If M is the connected component of zero in a super quasi-topological vector space
L, and M a vector subspace, then L/M is totally disconnected.
Proof. Let K be a closed subset of L/M such that π
−1
(K) is disconnected. We will show that K
is disconnected. Let A and B be non-empty subsets of π
−1
(K) such that A ∪ B = π
−1
(K) and
A ∩ B = ∅. As for each x ∈ A, x + M is connected subset of π
−1
(K) and hence A = A + M =
π
−1
(π(A)).
Similarly, B = π
−1
(π(B)).
Since π(A) ∩ π(B) = π(A ∩ B) = ∅ and (L/M )\π(A) = π(L\A) which is open, so π(A) is
closed subset of L/M. Similarly, π(B) is closed in L/M. As
π(A) ∪π(B) = π(A ∪ B) = π(π
−1
(K)) = K,
so K is disconnected. Now,
if C is the connected component of zero in L/M , and if there is a point π(x) of L/M such
that π(x) ∈ C and x /∈ M , then π
−1
(C) would be disconnected, which is a contradiction. It ends
the proof.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 1–11
Super quasi-topological and paratopological vector spaces versus topological vector spaces 11
References
[1] C. Alegre, Projective limits of paratopological vector spaces, Bull. Belg. Math. Soc., 12 (2005),
83-93.
[2] C. Alegre, J. Ferrer and V. Gregori, Quasi-uniformities on real vector spaces, Indian J. pure
appl. Math., 28 (7) (1997), 929-937.
[3] C. Alegre and S. Romaguera, On paratopological vector spaces, Acta Math. Hung., 101 (2003),
237-261.
[4] C. Alegre and S. Romaguera, Characterization of metrizable topological vector spaces and
their asymmetric generalization in terms of fuzzy (quasi-)norms, Fuzzy Sets Syst., 161
(2010), 2181-2192.
[5] H. Glockner, Continuity of bilinear maps on direct sums of topological vector spaces, J. Funct.
Anal., 262 (2012), 2013-2030.
[6] O. Ravsky, Paratopological groups, II, Matematychni Studii, 17 (2002), 93-101.
[7] S. Romaguera, M. Sanchis and M. Tkachenko, Free paratopological groups, Topology Proc.,
27 (2) (2003), 613-640.
[8] H. H. Schaefer and M. P. Wolff, Topological Vector Spaces, 1999.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 1–11
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 12–28
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.11516259
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
Los n´umeros Ramsey para tres grafos y tres
colores
The Ramsey numbers for three graphs and three colors.
Jos´e Figueroa (jose3765@gmail.com)
Departamento de Qu´ımica
Universidad Clodosbaldo Russi´an
Cuman´a, Venezuela.
Tob´ıas Rosas Soto (tjrosas@gmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8085-5011
Departamento de Matem´atica
Universidad del Zulia, Facultad Experimental de Ciencias
Maracaibo, Venezuela.
Henry Ram´ırez (hlramirez6@hotmail.com)
Departamento de Higiene y Seguridad Laboral
Universidad Clodosbaldo Russi´an
Cuman´a, Venezuela.
Armando Anselmi (alanselm2010@gmail.com)
Departamento de Matem´aticas
Universidad de Oriente
Cuman´a, Venezuela.
Resumen
Dado un grafo Ψ de orden t, simple, finito, y no vac´ıo. Se llamar´a sobreposici´on de Ψ al
grafo completo K
t
definido por Ψ ∪ Ψ, donde Ψ denota el complemento de Ψ. As´ı, dados
dos grafos G y H, simples, conexos, finitos, no vac´ıos, y dos colores distintos. El n´umero de
Ramsey R(G, H), se define como el menor entero positivo t, tal que existe alg´un grafo Ψ
que contiene una copia monocrom´atica G
0
de G, o Ψ contiene una copia monocrom´atica H
0
de H, y K
t
es una superposici´on de Ψ, es decir, Ψ es un subgrafo de K
t
. De forma similar,
dados tres grafos G, H
1
, y H
2
, simples, conexos, finitos, no vac´ıos, y tres colores distintos
{0, 1, 2}, se define como el n´umero Ramsey R(G, H
1
, H
2
) al menor entero positivo t tal que
existe una terna de grafos (Ψ, Ψ
1
, Ψ
2
) que satisfagan lo siguiente: (1)
Ψ = Ψ
1
∪ Ψ
2
; (2) El
grafo completo K
t
es la superposici´on de Ψ; (3) |V (K
t
)| = |V (Ψ)| = |V (Ψ
1
)| = |V (Ψ
2
)|; (4)
E(Ψ
1
) ∩ E(Ψ
2
) = ∅; y (5) El grafo Ψ contiene una copia monocrom´atica G
0
de G, o de Ψ
1
puede extraerse una copia monocrom´atica H
0
1
de H
1
, o de Ψ
2
puede extraerse una copia mo-
nocrom´atica H
0
2
de H
2
. En este trabajo se muestra que, para n ≥ 4, dados los grafos K
n
un
grafo completo, W
n
un grafo rueda, y D
4
un grafo diamante. Si t = m´ax{|K
n
|, |W
n
|, |D
4
|},
entonces R(K
n
, W
n
, D
4
) = t + 2, para t ∈ Z
+
\ {1, 2, 3, 4}.
Recibido 03/05/2022. Revisado 21/06/2022. Aceptado 13/10/2022.
MSC (2010): Primary 05C55; Secondary 05C15.
Autor de correspondencia: Jos´e Figueroa
Los n´umeros Ramsey para tres grafos y tres colores 13
Palabras y frases clave: N´umeros Ramsey, coloraci´on de grafos, n´umeros combinato-
rios, uni´on de grafos, sobreposici´on de grafos.
Abstract
Given a graph Ψ of order t, simple, finite, and non-empty. An superposition of Ψ will
be called the complete graph K
t
defined by Ψ ∪ Ψ, where Ψ denotes the complement of
Ψ. So, given two graphs G and H, simple, connected, finite, non-empty, and two differ-
ent colors. The Ramsey number R(G, H), is defined as the smallest positive integer t such
that there exists some graph Ψ that contains a monochrome copy G
0
of G, or Ψ contains
a monochrome copy H
0
of H, and K
t
is a superposition of Ψ, that is, Ψ is a subgraph
of K
t
. Similarly, given three graphs G, H
1
, and H
2
, simple, connected, finite non-empty,
and three distinct colors {0, 1, 2}, is defined as the Ramsey number R(G, H
1
, H
2
) to the
smallest positive integer t such that there exists a triplet of graphs (Ψ, Ψ
1
, Ψ
2
) that satisfy
the following: (1)
Ψ = Ψ
1
∪ Ψ
2
; (2) The complete graph K
t
is the superposition of Ψ;
(3)|V (K
t
)| = |V (Ψ)| = |V (Ψ
1
)| = |V (Ψ
2
)|; (4) E(Ψ
1
) ∩ E(Ψ
2
) = ∅; and (5) The graph Ψ
contains a monochrome copy G
0
of G, or from Ψ
1
can be made a monochrome copy H
0
1
of
H
1
, or from Ψ
2
a monochrome copy H
0
2
of H
2
can be extracted. In this work it is shown
that, for n ≥ 4, given the graphs K
n
a complete graph, W
n
a roll graph, and D
4
a diamond
graph. If t = m´ax{|K
n
|, |W
n
|, |D
4
|}, then R(K
n
, W
n
, D
4
) = t + 2, for t ∈ Z
+
\ {1, 2, 3, 4}.
Key words and phrases: Ramsey numbers, graph coloring, combinatorial numbers,
graph union, graph superposition.
1 Introducci´on
El origen de la teor´ıa de grafos se remonta al siglo XVIII, en el a˜no 1736, con el problema de los
puentes de K¨onigsberg, el cual consist´ıa en encontrar un camino que recorriera los siete puentes
del r´ıo Pregel. La soluci´on a dicho planteamiento fue considerada como el primer resultado de la
teor´ıa de grafos y el primer resultado topol´ogico en la geometr´ıa. Se define el grafo G como un
par de conjuntos (V, E), denotado por G = (V, E), donde V es un conjunto no vac´ıo de elementos
llamados v´ertices o nodos y E es un conjunto de pares no ordenados de elementos de V, llamados
lados o aristas; si G no posee lazos ni lados m´ultiples es un grafo simple. El orden de G, denotado
por |V |, es el n´umero de v´ertices de G. En 1933, Erd¨os y Szekeres en [7], inician el estudio de la
teor´ıa Ramsey, llamada as´ı en honor a Frank P. Ramsey. Tiempo despu´es descubrieron la conexi´on
con los trabajos que Ramsey consigui´o en su corta vida. En 1947, P. Erd¨os en [6], afirma que el
propio Ramsey hab´ıa observado que
R(k, k) ≤ 2
k(k−1)
2
, (1.1)
que luego mejor´o obteniendo:
R(k, k) ≤ k!, (1.2)
aunque ´el mismo aventuraba que esta cota podr´ıa reducirse. En 1972, Chv´atal y Harary en [5],
dan en forma general una cota inferior para los n´umeros Ramsey:
R(G, H) ≥ (c(G) − 1)(χ(H) − 1) + 1, (1.3)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 12–28
14 Jos´e Figueroa - Tob´ıas Rosas - Henry Ram´ırez - Armando Anselmi
donde c(G) es el orden de la componente m´as larga de G, y χ(H) es el n´umero crom´atico del
grafo H. En 1984, Burr y P. Erd¨os en [2], dan una cota inferior m´as general que la de Chv´atal y
Harary:
R(G, H) ≥ (n − 1)(χ(H) − 1) + σ(H), (1.4)
donde G es un grafo conexo de orden n y σ(H) el excedente crom´atico del grafo H. El grafo G es
bueno con respecto a H, denotado por H-bueno, si es validad la desigualdad (1.4) de lo contrario
G no contendr´ıa componentes H-buena. En 1994, Radziszowski y Xia en [9], dieron un m´etodo
sencillo y unificado para mostrar resultados del n´umero de Ramsey R(C
3
, G), donde G es un
camino, ciclo o una rueda. En 1995, Zhou en [12], prueba que R(C
n
, W
m
) = 2m + 1, para n ≥ 3
impar y m ≥ 5n − 7. En 2001, Surahmat y Baskoro demostraron en [10] que, para cada n ≥ 3, se
tiene que R(P
n
, W
4
) = 2n − 1 y R(P
n
, W
5
) = 3n − 2. En 2002, Baskoro et al [1], y en 2005, Chen
et al en [4], probaron que R(P
n
, W
6
) = 2n − 1, para todo n ≥ 6 y R(P
n
, W
7
) = 3n − 2, para todo
n ≥ 7, respectivamente. En 2018, Villaroel et al en [11], estudiaron un m´etodo algor´ıtmico para
el c´alculo del n´umero baric´entrico de Ramsey para el grafo estrella. En 2019, Figueroa et al [8],
estudiaron los n´umeros de Ramsey con componente h-buena y secuencias sim´etricas.
Dado un grafo Ψ de orden t, simple, finito, y no vac´ıo. Se llamar´a sobreposici´on de Ψ al grafo
completo K
t
definido por Ψ ∪ Ψ, donde Ψ denota el complemento de Ψ. El n´umero de Ramsey
R(G, H), se define como el menor entero positivo t, tal que existe alg´un grafo Ψ de orden t, que
contiene una copia monocrom´atica G
0
de G, o Ψ contiene una copia monocrom´atica H
0
de H y
K
t
es una superposici´on de Ψ. N´otese que en esta definici´on de n´umero Ramsey se utilizan dos
grafos y dos colores. El objetivo de este trabajo es determinar un m´etodo, que permita hallar el
menor grafo completo K
R(K
n
,W
n
,D
4
)
= Ψ ∪ Ψ
1
∪ Ψ
2
, con Ψ = Ψ
1
∪ Ψ
2
, que coloreado con tres
colores diferentes, cumpla una de las siguientes afirmaciones:
• Ψ contiene una copia monocrom´atica G
0
de K
n
.
• Ψ
1
contenga una copia monocrom´atica H
0
1
de W
n
.
• Ψ
2
contenga una copia monocrom´atica H
0
2
de D
4
.
En el ejemplo que se presentar´a n es el orden inicial del grafo dado, y t = m´ax{|k
n
|, |W
n
|, |D
4
|}.
El procedimiento fundamental es: primero incrementar el n´umero de v´ertices t en una unidad
(t → t + 1) formando el grafo completo K
t+1
. Luego, si
|E(K
t+1
)| < |E(K
n
)| + |E(W
n
)| + |E(D
4
)|,
en cuyo caso
|E(Ψ)| < |E(K
n
)|, |E(Ψ
1
)| < |E(W
n
)|, y |E(Ψ
2
)| < |E(D
4
)|.
Se incrementa nuevamente el n´umero de v´ertices de t + 1 a t + 2, formando el grafo completo
K
t+2
y obteniendo que
|E(Ψ)| ≥ |E(K
n
)|, ´o |E(Ψ
1
)| ≥ |E(W
n
)| ´o |E(Ψ
2
)| ≥ |E(D
4
)|.
Para el c´alculo del n´umero de aritas del grafo K
t+2
se utiliza el polinomio P (t) =
t
2
− t
2
que
proviene del n´umero combinatorio
t
2
que representa el n´umero de aristas del grafo K
t
. Con
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 12–28
Los n´umeros Ramsey para tres grafos y tres colores 15
dicho polinomio se definen |E(K
t+2
)| = P (t + 2). Para determinar el n´umero de secuencias s
i
con las que se colorea el grafo K
t+2
se define el polinomio Q(t) =
P (t + 2)
2
, todo esto para
t ≥ 5. Con esto se define una aplicaci´on Υ : E(K
t+2
) → (s
i
)
Q(t)
i=1
, que colorea los lados de
K
t+2
= Ψ ∪ Ψ
1
∪ Ψ
2
, con cada s
i
, para cada t ≥ 5, tal que satisfacen las definiciones 2.1 y
2.2 de la Secci´on 2 de este manuscrito, es decir, garantiza la existencia de una funci´on biyectiva
ϕ que preserva las adyacencias entre grafos. Dicho con otras palabras, Ψ contiene una copia
monocrom´atica G
0
de K
n
, o Ψ
1
contiene una copia H
0
1
de W
n
, o Ψ
2
contiene una copia H
0
2
de
D
4
. En la Secci´on 2 se dan algunas definiciones y enunciados que sustent´an este trabajo, en la
Secci´on 3 se da un ejemplo y un cuadro de valores de donde se ilustra el resultado y finalmente
en la Secci´on 4 se da el resultado y se demuestra.
2 Preliminares
Definici´on 2.1. Sean G y H dos grafos distintos del vac´ıo y se consideran dos colores diferentes.
Se dice que el par (G, H) es isomorfo al par (G
0
, H
0
), si G es bueno con respecto a H, si existe
un grafo Ψ tal que G
0
C Ψ o H
0
C Ψ. Adem´as, satisfacen la existencia de una funci´on biyectiva
ϕ que preserva las adyacencias entre los v´ertices de los grafos, es decir,
i) ϕ : V (G
0
) → V (G); u
i
v
j
∈ E(G
0
) ⇔ ϕ(u
i
)ϕ(v
j
) ∈ E(G) o
ii) ϕ : V (H
0
) → V (H); u
k
v
p
∈ E(H
0
) ⇔ ϕ(u
k
)ϕ(v
p
) ∈ E(H)
Definici´on 2.2. Sea Ψ un grafo de orden t, simple, finito, y no vac´ıo. Se llamar´a sobreposici´on
de Ψ al grafo completo K
t
definido por Ψ ∪
Ψ, donde Ψ denota el complemento de Ψ.
Proposici´on 2.1. Dado el grafo completo K
t
, con t ∈ N, se tiene que
|E(K
t
)| = C
t
2
=
t
2
!
=
t(t − 1)
2
Definici´on 2.3. Dado el grafo completo K
t
, con t ∈ N, se definir´a
P (t) = |E(K
t
)| =
t(t − 1)
2
al polinomio que determina el n´umero de aristas del grafo completo K
t
.
Corolario 2.1. Dados los grafos completos K
t+1
y K
t+2
, con t ∈ N, se tiene que:
P (t + 1) =
(t + 1)(t)
2
=
t
2
+ t
2
y P (t + 2) =
(t + 2)(t + 1)
2
=
t
2
+ 3t + 2
2
Definici´on 2.4. Sean {0, 1, 2} tres colores dados y s = (x
1
, . . . , x
r
) la sucesi´on, con x
i
∈ {0, 1, 2},
construida de la siguiente forma:
1. La sucesi´on s es monocrom´atica. Fijado x
1
, se tiene que x
i
= x
i−1
para i = 2, . . . , r.
2. La sucesi´on s es bicrom´atica. Hay un ´ındice k, con 1 ≤ k ≤ r, tal que x
k−1
< x
k
y
x
1
= · · · = x
k−1
y x
k
= · · · = x
r
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 12–28
16 Jos´e Figueroa - Tob´ıas Rosas - Henry Ram´ırez - Armando Anselmi
3. La sucesi´on s es tricrom´atica. Hay dos ´ındices k y q, con k, q ≤ r y k < q, tales que
x
k
< x
q
< x
r
y
x
1
= · · · = x
k
x
k+1
= · · · = x
q
x
q +1
= · · · = x
r
Proposici´on 2.2. Sean {0, 1, 2} tres colores dados y r la longitud de la sucesi´on s = (x
1
, . . . , x
r
)
construida como en la Definici´on 2.4, entonces el n´umero de suceciones posibles formadas por los
tres colores est´a dado por el n´umero combinatorio
r + 2
2
=
(r + 2)(r + 1)
2
.
Demostraci´on. Claramente se tiene una sola secuencia s tal que x
i
= 0 para todo i = 1, . . . , r.
Ahora se proceder´a a fijar el mayor n´umero de entradas de s con el color 0 y se determinar´a la
cantidad de sucesiones que se puedan formar con los colores {0, 1, 2}. Si x
i
= 0 para i = 1, . . . , r−1
se obtienen 2 sucesiones ya que x
r
= 1 o x
r
= 2. Si se hace x
i
= 0 para i = 1, . . . , r −2 se obtienen
3 sucesiones ya que las ´ultimas dos coordenas podr´ıan ser (1, 1), o (1, 2) o (2, 2). N´otese que bastan
tres cambios para llegar de (1, 1) hasta (2, 2), es decir, el n´umero de coordenadas no fijadas m´as
una unidad.
Razonando de forma similar se tendr´ıa que para r − k coordenadas fijadas, y por tanto k no
fijadas el n´umero se sucesiones tricrom´aticas que se pueden obtener son k + 1. Teniendo as´ı el
siguiente cuadro
Coord. Fijas r r − 1 r − 2 · · · r − k · · · 3 2 1
Coord. No Fijas 0 1 2 · · · k · · · r − 3 r − 2 r − 1
# Sucesiones 1 2 3 · · · k + 1 · · · r − 2 r − 1 r
De manera que se tiene, fijando el color 0, un total de
r−1
X
i=0
(i + 1) =
r
X
i=1
i =
r(r + 1)
2
Por ´ultimo, n´otese que faltan la sucesiones s tal que x
i
= 1 para todo i = 1, . . . , r y la sucesiones
bicrom´aticas con los colores 1 y 2, las cuales suman r + 1, pues es r el n´umero de cambios que se
deben realizar para llegar de
(1, . . . , 1
| {z }
r−veces
) −→
hasta
(2, . . . , 2
| {z }
r−veces
)
Por tanto, se tiene un total de
r(r + 1)
2
+ r + 1 = (r + 1)
r
2
+ 1
=
(r + 2)(r + 1)
2
=
(r + 2)(r + 1)r!
2!r!
=
r + 2
2
Corolario 2.2. Sean el grafo completo K
t+2
, con t ∈ N, y {0, 1, 2} tres colores. Entonces el
n´umero de sucesiones s, definidas como en la Proposici´on 2.2, para colorear los lados de K
t+2
est´a dada por el n´umero
Q(t) =
P (t + 2) + 2
2
.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 12–28
Los n´umeros Ramsey para tres grafos y tres colores 17
Demostraci´on. Basta hacer r = P (t + 2) y, aplicando el Corolario 2.1 y la Proposici´on 2.2, se
obtiene el resultado deseado.
Definici´on 2.5. Sean G, H
1
y H
2
tres grafos, simples, conexos, finitos, no vac´ıos y {0, 1, 2} tres
colores diferentes. El n´umero de Ramsey denotado por R(G, H
1
, H
2
), es el menor entero positivo
t, tal que existe una terna de grafos (Ψ, Ψ
1
, Ψ
2
) que satisface:
1. Ψ = Ψ
1
∪ Ψ
2
.
2. El grafo completo K
t
es la superposici´on de Ψ.
3. |V (K
t
)| = |V (Ψ)| = |V (Ψ
1
)| = |V (Ψ
2
)|.
4. E(Ψ
1
) ∩ E(Ψ
2
) = ∅.
5. El grafo Ψ contiene una copia monocrom´atica G
0
de G o de Ψ
1
puede extraerse una copia
monocrom´atica H
0
1
de H
1
o de Ψ
2
puede extraerse una copia monocrom´atica H
0
2
de H
2
.
Definici´on 2.6. Sean G, H
1
y H
2
tres grafos distintos de vac´ıos. Se dice que la tr´ıada (G, H
1
, H
2
)
es isomorfa a la tr´ıada (G
0
, H
0
1
, H
0
2
), si G es bueno con respecto a H
1
, o a H
2
, es decir, existe una
tr´ıada (Ψ, Ψ
1
, Ψ
2
) tal que
G
0
C Ψ, H
0
1
C Ψ
1
, y H
0
2
C Ψ
2
.
Adem´as, existe una funci´on biyectiva ϕ que preserva las adyacencias entre los v´ertices de los
grafos, es decir,
i) ϕ : V (G
0
) → V (G); u
i
v
j
∈ E(G
0
) ⇔ ϕ(u
a
)ϕ(v
b
) = w
a
x
b
∈ E(G) o
ii) ϕ : V (H
0
1
) → V (H
1
); u
c
v
d
∈ E(H
0
1
) ⇔ ϕ(u
c
)ϕ(v
d
) = y
c
z
d
∈ E(H
1
) o
iii) ϕ : V (H
0
2
) → V (H
2
); u
e
v
f
∈ E(H
0
2
) ⇔ ϕ(u
e
)ϕ(v
f
) = y
e
z
f
∈ E(H
2
).
Definici´on 2.7. Sean G, H
1
y H
2
tres grafos simples, conexos, finitos y no vac´ıos. Sean
P (t + 2) =
t + 2
2
y Q(t) =
P (t + 2)
2
.
Se dice que K
R(G,H
1
,H
2
)
, contiene componentes h-buena, si al colorear los lados de
K
R(G,H
1
,H
2
)
= Ψ ∪ Ψ
1
∪ Ψ
2
con cada secuencia s
i
, definidas como en la Definici´on 2.4 para todo i = 1, · · · , Q(t), donde
|E(K
R(G,H
1
,H
2
)
)| = P (t + 2) es el tama˜no de cada secuencia para t ≥ 5, existe una coloraci´on
con s
i
donde Ψ contiene una copia monocrom´atica G
0
de G con el primer color, o de Ψ
1
puede
extraerse una copia monocrom´atica H
0
1
de H
1
con el segundo color, o de Ψ
2
puede extraerse una
copia monocrom´atica H
0
2
de H
2
con el tercer color.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 12–28
18 Jos´e Figueroa - Tob´ıas Rosas - Henry Ram´ırez - Armando Anselmi
3 Ejemplo ilustrativo
Ejemplo 3.1. Sea n = 4 y t´omense los grafos G = K
4
el completo, H
1
= W
4
la rueda, y
H
2
= K
4
− l el diamante. Consid´erese t = m´ax{|G|, |H
1
|, |H
2
|} = m´ax{4, 5, 4} = 5. Luego, se
aumenta el valor de t en una unidad (t → t + 1), para formar el grafo completo K
6
. Usando el
Corolario 2.1 se tiene que el n´umero de lados
|E(K
6
)| = P (5 + 1) =
5
2
+ 5
2
= 15.
Pero es imposible extraer de K
6
una copia monocrom´atica de G con el primer color, o una copia
monocrom
´
tica de H
1
con el segundo color, o una copia monocrom´atica de H
2
con el tercer color.
N´otese que la secuencia de coloraci´on m´as cr´ıtica en el presente ejemplo es
(0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2)
pues distribuye de forma uniforme y sim´etrica el n´umero de veces que aparece cada color en la
secuencia. Ahora, al disminuir en una unidad el n´umero de veces que aparece el tercer color en
la secuencia se elimina la posibilidad de extraer de K
6
una copia monocrom´atica de H
2
con el
tercer color, o al aumentar en una unidad el numero de veces que aparece el primer color permite
extraer de K
6
una copia monocrom´atica de G con el primer color. Sin embargo, al disminuir en
una unidad el tercer color y aumentar en una unidad el segundo color se obtiene una secuencia
con cuya coloraci´on no es posible extraer de K
6
una copia monocrom´atica de G con el primer
color, o una copia monocrom
´
tica de H
1
con el segundo color, o una copia monocrom´atica de H
2
con el tercer color. Por tanto, al tomar la secuencia
(0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2)
se tiene que no se pueden extraer las copias antes mencionadas.
Dada la observaci´on anterior se puede inferir que una condici´on suficiente para que se pueda
extraer de K
6
una copia monocrom´atica G con el primer color, o una copia monocrom´atica de
H
1
con el segundo color, o copia monocrom´atica de H
2
con el tercer color, es que el n´umero de
aristas del grafo completo que se estudie sea mayor o igual que |E(G)| + |E(H
1
)| + |E(H
2
)|. Por
tal raz´on, se vuelve a incrementar el n´umero de v´ertices en uno, es decir, t+1 → t+2, obteniendo
as´ı un n´umero de 7 v´ertices para formar el grafo completo K
7
. Luego, usando el Corolario 2.1
con t = 5, se tiene que el n´umero de lados de K
7
es
P (5 + 2) = |E(K
7
)| =
5
2
+ 3 × 5 + 2
2
= 21 > 19 = |E(G)| + |E(H
1
)| + |E(H
2
)|.
Ahora, aplicando el Corolario 2.2 se tiene que
Q(5) =
P (5 + 2) + 2
2
=
P (7) + 2
2
=
23
2
=
23 × 22
2
= 253.
Entonces existe una aplicaci´on
Υ : E(K
R(G,H)
) → (s
i
)
253
i=1
,
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 12–28
Los n´umeros Ramsey para tres grafos y tres colores 19
para cada s
i
, con i = 1, · · · , 253.
s
1
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
s
2
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1)
s
3
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2)
s
4
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1)
s
5
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2)
s
6
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2)
s
7
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1)
s
8
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2)
s
9
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2)
s
10
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2)
s
11
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1)
s
12
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2)
s
13
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2)
s
14
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2)
s
15
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2)
s
16
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1)
s
17
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2)
s
18
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2)
s
19
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2)
s
20
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2)
s
21
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2)
s
22
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
s
23
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
s
24
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2)
s
25
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
s
26
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2)
s
27
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2)
s
28
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
29
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
s
30
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
s
31
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2)
s
32
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
s
33
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2)
s
34
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2)
s
35
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
36
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
37
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
s
38
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
s
39
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2)
s
40
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
s
41
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2)
s
42
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2)
s
43
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
44
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
45
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
46
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 12–28
20 Jos´e Figueroa - Tob´ıas Rosas - Henry Ram´ırez - Armando Anselmi
s
47
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
s
48
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2)
s
49
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
s
50
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2)
s
51
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2)
s
52
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
53
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
54
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
55
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
56
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
s
57
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
s
58
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2)
s
59
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
s
60
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2)
s
61
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2)
s
62
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
63
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
64
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
65
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
66
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
67
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
s
68
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
s
69
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2)
s
70
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
s
71
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2)
s
72
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2)
s
73
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
74
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
75
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
76
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
77
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
78
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
79
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
s
80
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
s
81
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2)
s
82
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
s
83
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2)
s
84
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2)
s
85
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
86
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
87
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
88
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
89
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
90
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
91
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
92
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
s
93
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 12–28
Los n´umeros Ramsey para tres grafos y tres colores 21
s
94
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2)
s
95
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
s
96
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2)
s
97
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2)
s
98
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
99
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
100
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
101
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
102
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
103
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
104
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
105
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
106
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
s
107
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
s
108
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2)
s
109
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
s
110
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2)
s
111
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2)
s
112
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
113
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
114
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
115
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
116
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
117
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
118
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
119
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
120
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
121
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
s
122
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
s
123
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2)
s
124
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
s
125
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2)
s
126
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2)
s
127
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
128
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
129
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
130
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
131
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
132
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
133
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
134
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
135
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
136
= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
137
= (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
s
138
= (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
s
139
= (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2)
s
140
= (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 12–28
22 Jos´e Figueroa - Tob´ıas Rosas - Henry Ram´ırez - Armando Anselmi
s
141
= (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2)
s
142
= (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2)
s
143
= (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
144
= (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
145
= (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
146
= (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
147
= (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
148
= (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
149
= (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
150
= (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
151
= (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
152
= (0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
153
= (0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
154
= (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
s
155
= (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
s
156
= (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2)
s
157
= (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
s
158
= (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2)
s
159
= (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2)
s
160
= (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
161
= (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
162
= (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
163
= (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
164
= (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
165
= (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
166
= (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
167
= (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
168
= (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
169
= (0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
170
= (0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
171
= (0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
172
= (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
s
173
= (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
s
174
= (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2)
s
175
= (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
s
176
= (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2)
s
177
= (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2)
s
178
= (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
179
= (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
180
= (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
181
= (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
182
= (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
183
= (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
184
= (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
185
= (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
186
= (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
187
= (0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 12–28
Los n´umeros Ramsey para tres grafos y tres colores 23
s
188
= (0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
189
= (0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
190
= (0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
191
= (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
s
192
= (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
s
193
= (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2)
s
194
= (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
s
195
= (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2)
s
196
= (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2)
s
197
= (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
198
= (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
199
= (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
200
= (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
201
= (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
202
= (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
203
= (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
204
= (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
205
= (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
206
= (0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
207
= (0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
208
= (0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
209
= (0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
210
= (0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
211
= (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
s
212
= (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
s
213
= (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2)
s
214
= (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
s
215
= (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2)
s
216
= (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2)
s
217
= (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
218
= (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
219
= (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
220
= (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
221
= (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
222
= (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
223
= (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
224
= (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
225
= (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
226
= (0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
227
= (0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
228
= (0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
229
= (0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
230
= (0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
231
= (0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
232
= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
s
233
= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
s
234
= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 12–28
24 Jos´e Figueroa - Tob´ıas Rosas - Henry Ram´ırez - Armando Anselmi
s
235
= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2)
s
236
= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2)
s
237
= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2)
s
238
= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
239
= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
240
= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
241
= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
242
= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
243
= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
244
= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
245
= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
246
= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
247
= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
248
= (1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
249
= (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
250
= (1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
251
= (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
252
= (1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
s
253
= (2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
Figura 1: K
7
coloreado con la secuencia s
111
y los subgrafos Ψ, Ψ
1
y Ψ
2
.
Por ejemplo, consid´ere la secuencia S
111
para colorear arbitrariamente los lados del grafo
completo K
7
, entonces hay una coloraci´on tal que existe una terna de grafos (Ψ, Ψ
1
, Ψ
2
) donde
se cumple que K
7
= Ψ ∪ Ψ
1
∪ Ψ
2
y se puede extraer de Ψ una copia monocrom´atica G
0
isomorfa
a G con el primer color, o extraer de Ψ
1
una copia monocrom´atica H
0
1
de H
1
con el segundo
color, o extraer de Ψ
2
una copia monocrom´atica H
0
2
de H
2
con el tercer color. N´otese, que de Ψ
se puede extraer una copia monocrom´atica G
0
isomorfa a G, como se observa en la Figura 1.
Finalmente, al colorear los lados del menor grafo completo K
R(G,H
1
,H
2
)
con cada secuencia
s
i
, para todo i = 1, · · · , 253, siempre existe una coloraci´on en la cual es posible extraer de Ψ una
copia monocrom´atica G
0
de G, o de Ψ
1
una copia monocrom´atica H
0
1
de H
1
, o de Ψ
2
una copia
monocrom´atica H
0
2
de H
2
. Por lo tanto, R(G, H
1
, H
2
) = 7, con t = 5, n = 4, para 3 grafos y 3
colores.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 12–28
Los n´umeros Ramsey para tres grafos y tres colores 25
El conjunto de valores obtenidos en el Cuadro 1, provienen de haber resuelto una variada
cantidad de ejemplos que dieron como resultado un conjunto de patrones de los n´umeros de
Ramsey para tres grafos y tres colores. Este conjunto de patrones obtenidos en el Cuadro 1,
satisfacen para tres grafos cualequiera, simple, finitos, no vac´ıos, que solo van a depender del
n´umero de v´ertices y de tres colores diferentes.
n ≥ 4 t ≥ 5 G = K
n
H
1
= W
n
R(G, H
1
, K
4
− l) |E(K
t+2
)| {s
i
}
Q(t)
i=1
n = 4 t = 5 K
4
W
4
7 21 253
n = 5 t = 6 K
5
W
5
8 28 435
n = 6 t = 7 K
6
W
6
9 36 703
n = 7 t = 8 K
7
W
7
10 45 1081
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n t K
n
W
n
t + 2
t
2
+3t+2
2
(t
2
+3t+6)(t
2
+3t+4)
8
Cuadro 1: Patr´on obtenido de los n´umeros Ramsey para los grafos K
n
, W
n
, y D
4
.
4 Resultado principal
El siguiente resultado es un caso general, para tres grafos cualesquiera, simples, finitos, no vac´ıos
y tres colores diferentes.
Teorema 4.1. Sean n ≥ 4, K
n
un grafo completo, W
n
un garfo rueda, y D
4
grafos diamante.
Sean {0, 1, 2} tres colores diferentes; t = m´ax{|K
n
|, |W
n
|, |D
4
|}; P (t) =
t
2
− t
2
; Q(t) =
P (t) + 2
2
;
y {s
i
}
Q(t)
i=1
el conjunto de las secuencias formadas con los tres colores como en la Definici´on 2.4,
entonces R(K
n
, W
n
, D
4
) = t + 2, para t ≥ 5.
Demostraci´on. Sean K
n
, W
n
, y D
4
los grafos dados. T´omese t = m´ax{|K
n
|, |W
n
|, |D
4
|}, as´ı t =
n + 1 y def´ınanse los polinomios
P (t) =
t
2
=
t
2
− t
2
y Q(t) =
P (t) + 2
2
=
t
4
+ 6t
3
+ 19t
2
+ 30t + 24
2
3
.
Por otro lado, sean {0, 1, 2} tres colores diferentes y W = {s
i
}
Q(t)
i=1
el conjunto de secuencias
construidas como en la Definici´on 2.4 con las cuales se realizar´an las coloraciones de los grafos
que se estudiar´an.
Sup´ongase ahora que R(K
n
, W
n
, D
4
) = t + 1, entonces por la Definici´on 2.5 existe una terna
(Ψ, Ψ
1
, Ψ
2
) tal que
(i) Ψ = Ψ
1
∪ Ψ
2
.
(ii) El grafo completo K
t+1
es la superposici´on de Ψ.
(iii) |V (K
t+1
)| = |V (Ψ)| = |V (Ψ
1
)| = |V (Ψ
2
)|.
(iv) E(Ψ
1
) ∩ E(Ψ
2
) = ∅.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 12–28
26 Jos´e Figueroa - Tob´ıas Rosas - Henry Ram´ırez - Armando Anselmi
(v) El grafo Ψ contiene una copia monocrom´atica G
0
de K
n
o de Ψ
1
puede extraerse una copia
monocrom´atica H
0
1
de W
n
o de Ψ
2
puede extraerse una copia monocrom´atica H
0
2
de D
4
.
N´otese que si |E(K
t+1
)| < |E(K
n
)| + |E(W
n
)| + |E(D
4
)|, por los ´ıtem (i), (ii), y (iv), se tiene
que
|E(Ψ)| + |E(Ψ
1
)| + |E(Ψ
2
)| < |E(K
n
)| + |E(W
n
)| + |E(D
4
)| (4.1)
pues |E(K
t+1
)| = |E(Ψ)| + |E(Ψ
1
)| + |E(Ψ
2
)|. Luego, por el ´ıtem (v) se tendr´ıa que |E(Ψ)| <
|E(K
n
)| o |E(Ψ
1
)| < |E(W
n
)| o E(Ψ
2
)| < |E(D
4
)|. Sin p´erdida de generalidad, se puede suponer
que |E(Ψ)| < |E(K
n
)|. De donde, usando la ecuaci´on (4.1), se obtiene que
|E(Ψ
1
)| + |E(Ψ
2
)| < |E(W
n
)| + |E(D
4
)| (4.2)
En este punto, por el mismo ´ıtem (v), se tendr´ıa que |E(Ψ
1
)| < |E(W
n
)| o E(Ψ
2
)| < |E(D
4
)|.
De forma similar, y sin p´erdida de generalidad, se puede suponer que
|E(Ψ
1
)| < |E(W
n
)| (4.3)
As´ı, de las ecuaciones (4.1), (4.2) y (4.3), se tiene que
|E(Ψ)| < |E(K
n
)| |E(Ψ
1
)| < |E(W
n
)| |E(Ψ
2
)| < |E(D
4
)| (4.4)
Esto ´utlimo permite inferir claramente que no es posible extraer de Ψ una copia monocrom´atica
G
0
de K
n
, o de Ψ
1
una copia monocrom´atica H
0
1
de W
n
, o de Ψ
2
una copia monocrom´atica H
0
2
de D
4
, lo cual es una contradicci´on a lo supuesto de inicio.
Ahora, como t = n + 1 entonces n = t − 1
|E(K
n
)| = |E(K
t−1
)| =
(t − 1)(t − 2)
2
|E(W
t−1
)| = 2(t − 2) |E(D
4
)| = 4 (4.5)
y por tanto
(t − 1)(t − 2)
2
+2(t−2)+4 =
(t
2
− 3t + 2) + 4(t − 2) + 8
2
=
t
2
+ t + 2
2
=
t(t + 1)
2
+1 > |E(K
t+1
)|
ya que t ≥ 5. Luego, por lo demostrado anteriormente se tendr´ıa que R(K
n
, W
n
, D
4
) > t + 1.
Proc´edase a aumentar el valor de t + 1 en una unidad (t + 1 → t + 2), para formar el grafo
completo K
t+2
cuyos lados ser´an coloreados con las secuencias s
i
∈ W . Luego, por hip´otesis se
tiene que |E(D
4
)| = 4 < t de donde:
(t − 1)(t − 2)
2
+ 2(t − 2) + |E(D
4
)| <
t
2
+ 3t − 6
2
Usando las ecuaciones (4.5) se obtiene que
|E(K
n
)| + |E(W
n
)| + |E(D
4
)| <
t
2
+ 3t − 6
2
<
t
2
+ 3t + 2
2
= |E(K
t+2
)| (4.6)
Ahora, si se representan por C
i
(K
t+2
) al conjunto de lados coloreados con el color i, para
i = 0, 1, 2. Se obtiene, usando la ecuaci´on (4.6), que las coloraciones del grafo completo K
t+2
se
pueden dividir en varios grupos:
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 12–28
Los n´umeros Ramsey para tres grafos y tres colores 27
• |C
i
(K
t+2
)| ≥ |E(K
n
)|.
• |C
i
(K
t+2
)| < |E(K
n
)| y |C
i
(K
t+2
)| ≥ |E(W
n
)|.
• |C
i
(K
t+2
)| < |E(K
n
)| y |C
i
(K
t+2
)| < |E(W
n
)| y |C
i
(K
t+2
)| ≥ |E(D
4
)|.
para i = 0, 1, 2.
Sup´ongase ahora que se colorea el grafo K
t+2
con una secuencia s
j
∈ W tal que
|C
i
(K
t+2
)| ≥ |E(K
n
)|
Aqu´ı, se hace Ψ al subgrafo monocrom´atico de K
t+2
coloreado con el color i tal que |V (Ψ)| =
|V (K
t+2
)|. Como |E(Ψ) ≥ |E(K
n
)|, y dado que K
t+2
es conexo, entonces se puede extraer de Ψ
un subgrafo G
0
conexo monocrom´atico isomorfo a K
n
, para i = 0, 1, 2. Luego, al colorear los lados
de K
t+2
, con las secuencias s
j
dadas, existe por las definiciones 2.7 y 2.6, una funci´on biyectiva
ϕ que cumple que
ϕ : V (G
0
) → V (K
n
); u
a
v
b
∈ E(G
0
) ⇔ ϕ(u
a
)ϕ(v
b
) = w
a
w
b
∈ E(K
n
).
Si se colorea el grafo K
t+2
con una secuencia s
j
∈ W tal que |C
i
(K
t+2
)| < |E(K
n
)| y
|C
i
(K
t+2
)| ≥ |E(W
n
)|, para i = 0, 1, 2, entonces se hace Ψ
1
al subgrafo monocrom´atico de K
t+2
coloreado con el color i tal que |V (Ψ
1
)| = |V (K
t+2
)|. Como |E(Ψ
1
) ≥ |E(W
n
)|, y dado que K
t+2
es conexo, entonces se puede extraer de Ψ
1
un subgrafo H
0
1
conexo monocrom´atico isomorfo a
W
n
. Luego, al colorear los lados de K
t+2
con las secuencias s
j
dadas, existe por las definiciones
2.7 y 2.6, una funci´on biyectiva ϕ que cumple que
ϕ : V (H
0
1
) → V (W
n
); u
c
v
d
∈ E(H
0
1
) ⇔ ϕ(v
c
)ϕ(v
d
) = y
c
y
d
∈ E(W
n
).
Por ´ultimo, si se colorea el grafo K
t+2
con una secuencia s
j
∈ W tal que
|C
i
(K
t+2
)| < |E(G)| y |C
i
(K
t+2
)| < |E(H
1
)| y |C
i
(K
t+2
)| ≥ |E(H
2
)|
para i = 0, 1, 2, entonces se hace Ψ
2
al subgrafo monocrom´atico de K
t+2
coloreado con el color
i. Como |E(Ψ
2
) ≥ |E(D
4
)|, y dado que K
t+2
es conexo, entonces se puede extraer de Ψ
2
un
subgrafo H
0
2
conexo monocrom´atico isomorfo a W
n
. Luego, al colorear los lados de K
t+2
con las
secuencias s
j
dadas, existe por las definiciones 2.7 y 2.6, una funci´on biyectiva ϕ que cumple que
ϕ : V (H
0
2
) → V (D
4
); u
e
v
f
∈ E(H
0
2
) ⇔ ϕ(u
e
)ϕ(v
f
) = z
e
z
f
∈ E(D
4
).
Cumpli´endose que G es bueno con respecto a H, es decir, existe el grafo completo
K
t+2
= Ψ ∪ Ψ
1
∪ Ψ
2
tal que de Ψ se pueda extraer una copia monocrom´atica G
0
de K
n
, o de Ψ
1
pueda extraer
una copia monocrom´atica H
0
1
de W
n
o Ψ
2
pueda extraer una copia monocrom´atica H
0
2
de D
4
,
tendiendo entonces que R(K
n
, W
n
, D
4
) = t + 2, para t ≥ 5.
5 Dedicatoria
Esta publicaci´on est´a dedicada al profesor Jos´e Rafael Figueroa quien no pudo ver concretada
la publicaci´on de este art´ıculo, estudio que realiz´aramos conjuntamente durante el a˜no 2022, del
cual existe una continuaci´on inconclusa. Gracias Jos´e por ser un gran colega y amigo, prometemos
terminar y publicar en tu memoria (incluy´endote como autor) los trabajos que hab´ıamos inciado
en conjunto durante los a˜nos 2022 y 2023. Ilumina nuestro entendimiento desde donde est´es.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 12–28
28 Jos´e Figueroa - Tob´ıas Rosas - Henry Ram´ırez - Armando Anselmi
Referencias
[1] Baskoro E.T. (2002) “The Ramsey number of paths and small wheels”, J. Indones. Math.
Soc. (MIHMI) (1), 13-16.
[2] Burr S.A. and Erd¨os P. (1984) “Generalizations of a Ramsey theoretic result of Chvatal”,
Journal of Graph Theory 7: 39–51.
[3] Camacho D.J.A. Teorema del
´
Indice de Poincar´e, Universidad de Murcia 2012 − 2013.
[4] Chen Y.; Zhang Y.; and Zhang K. (2005) “The Ramsey number paths, versus wheels”,
Descret Mathematics, 290, 85 − 87.
[5] V. Chv´atal and F. Harary, Generalized Ramsey theory for graphs, III:small off- diagonal
numbers, Pacific Journal of Mathematics, 41 (1972), 335-345.
[6] P. Erd¨os, Some remarks on the theory of graphs Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 292-294.
[7] P. Erd¨os and G. Szekeres, On a combinatorial problem in geometry, Composition Mathema-
tica 2 (1935), 463-470.
[8] J. Figueroa; F. Villarroel; H. Ramirez y J. Otero, Los N´umeros de Ramsey con componente
h−buena y secuencias sim´etricas, Divulgaciones Matem´aticas, No 1 20(2019), 78-90.
[9] Radziszowski S.P. and Xia J. (1994) “Paths, cycles and wheels in graphs without antitrian-
gles”, Australasion Journal of Combinatorics 9, 221-232.
[10] Surahmat and Baskoro E.T. (2001) “On the Ramsey Number of Path or Star versus W
4
or
W
5
”, Proc. Twelfth Autraslasian Workshop on Combinatorial Algorithms, Bandung, Indo-
nesia, 14-17 July, 174-179.
[11] Villaroel F.; Figueroa J.; Marquez H. and Anselmi A. Un m´etodo algor´ıtmico para el calculo
del n´umero Baric´entrico de Ramsey para el grafo estrella Bol.soc. Paran. Mat. (3s) V.36.
2(2018), 169–183.
[12] Zhou H.L. (1995) “The Ramsey number of an odd cycles with respect to a wheel (in chinese”,
Journal of Mathematics, Shuxu Zazhi (Wuhan), 15: 119–120.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 12–28
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 29–43
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.11529160
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
Estudio cualitativo del metabolismo de una
droga ingerida
Qualitative study of the metabolism of an ingested drug
Ber´onica Aguilar Le´on (beronica.al94@gmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0000-0003-1457-4008
Centro Universitario de Pil´on
Universidad de Granma
Cuba
Adolfo Arsenio Fern´andez Garc´ıa (adolfof@uo.edu.cu)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-0146-7193
Departamento de F´ısica, Facultad de Ciencias Naturales y Exactas
Universidad de Oriente
Cuba
Sandy S´anchez Dom´ınguez (sandys@uo.edu.cu)
ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3788-8413
Departamento de Matem´atica, Facultad de Ciencias Naturales y Exactas
Universidad de Oriente
Cuba
Antonio Iv´an Ruiz Chaveco (iruiz2005@yahoo.es)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3473-1704
Universidad del estado de Amazonas
Brazil
Resumen
En el presente trabajo se realiza un estudio cualitativo de un modelo matem´atico para
la eliminaci´on de una droga del cuerpo humano, particularmente el caso en que la matriz
fundamental del sistema tiene un valor propio nulo y otro par de valores propios imaginarios
puros, a trav´es de ejemplos se verifican los resultados obtenidos. Adicionalmente se realiza
un estudio preliminar del metabolismo de un f´armaco en el organismo hasta su eliminaci´on,
el efecto que provoca y su incidencia en Cuba.
Palabras y frases clave: Modelo matem´atico, an´alisis cualitativo.
Abstract
In the present paper, a qualitative study of a mathematical model for the elimination of
a drug from the human body is carried out, particularly the case in which the fundamental
matrix of the system has a null eigenvalue and another pair of pure imaginary eigenvalues,
through examples the results obtained are verified. Additionally, a preliminary study of the
Recibido 08/08/2022. Revisado 30/08/2022. Aceptado 10/11/2022.
MSC (2010): Primary 34C60; Secondary 34C20.
Autor de correspondencia: Sandy S´anchez Dom´ınguez
30 Ber´onica Aguilar - Adolfo Fern´andez - Sandy S´anchez - Antonio Ruiz
metabolism of a drug in the body until its elimination, the effect it causes and its incidence
in Cuba is carried out.
Key words and phrases: Mathematical model, qualitative analysis.
1 Introducci´on
En el eterno quehacer del hombre por tratar de describir los diversos fen´omenos que ocurren el la
vida cotidiana, procesos de diversa ´ındole como la din´amica poblacional, los eventos meteorol´ogi-
cos, los fen´omenos electromagn´eticos, las reacciones e interacciones qu´ımicas, el crecimiento de
tumores, el comportamiento de f´armacos, drogas entre otros, son objeto de estudio de m´ultiples
ramas del conocimiento humano y frecuentemente modelados matem´aticamente en t´erminos de
ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales.
Un modelo matem´atico nos da la posibilidad de estudiar integralmente el proceso, predecir
su desarrollo, hacer estimaciones cuantitativas de los cambios que ocurren en ´el con el trans-
curso del tiempo; pero nunca ser´a id´entico al objeto real, no transmite todas sus propiedades
y peculiaridades. Para hacer posible la descripci´on matem´atica de un fen´omeno real cualquiera,
inevitablemente tendr´a que ser simplificado, idealizarlo, resaltando y tomando en cuenta s´olo los
factores m´as importantes que act´uan sobre ´este y despreciando a los menos considerables. Sur-
giendo as´ı el problema sobre si se han elegido correctamente o no las hip´otesis de simplificaci´on.
Es posible que los factores no considerados influyan fuertemente en el fen´omeno estudiado, e
intercambien sus caracter´ısticas cuantitativas y cualitativas. En ´ultima instancia esta cuesti´on se
transforma en la pr´actica, viendo si corresponden o no las conclusiones obtenidas con los datos
del problema real, pero de todas formas en muchos casos se pueden se˜nalar las condiciones bajo
las cuales ciertas simplificaciones no son posibles.
Muchos problemas de la Medicina y la biolog´ıa son modelados matem´aticamente mediante
ecuaciones diferenciales y determinar as´ı su comportamiento en el tiempo. Un ejemplo de esto se
encuentra recogidos en los trabajos [4], donde se presentan un conjunto de modelos matem´aticos
que frecuentemente han sido objeto de estudio en la medicina y biolog´ıa. En [10] se presenta un
modelo bicompartimental intrabasal y extrabasal donde se realiza una simulaci´on num´erica para
realizar una interpretaci´on de los resultados obtenidos.
Entre los modelos farmacocin´eticos m´as estudiados desde el punto de vista matem´atico est´an
los de difusi´on de una droga a trav´es de la sangre arterial, tejido y sangre venosa, estudiado
en [9], donde la soluci´on se realiza mediante transformada de Laplace y simulaci´on num´erica,
as´ı como [6], donde los autores estudian mediante dos compartimientos el efecto de dos drogas en
el tratamiento del c´ancer, donde tambi´en realizan un tratamiento num´erico al modelo propuesto.
Algunos trabajos precedentes realizan un estudio matem´atico del metabolismo de una droga
usando diversas v´ıas de administraci´on, como [11], donde se realiza estudio de un caso particular
de una droga administrada por v´ıa intravenosa y se estudia usando formas normales el caso en que
la matriz fundamental del sistema tiene un valor propio nulo y un par negativos. En [?] se presenta
un modelo compartimental para la eliminaci´on de una droga en el organismo suministrada por
v´ıa oral y su estudio usando formas normales de forma general.
Otras modelos matem´aticos para el comportamiento de una droga son estudiados en [1, 3, 2],
en cuyos trabajos se presentan de forma general modelos para el comportamiento de una droga
suministrada por v´ıa oral, olfativa y por v´ıa intravenosa, en todos los casos se realizan de forma
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 29–43
Estudio cualitativo del metabolismo de una droga ingerida 31
general estudios cualitativos mediante formas normales. Una colecci´on de modelos semejantes
pueden ser consultados en [14].
Seg´un la OMS La droga se define como: “Toda sustancia que, introducida en un organismo
vivo, es capaz de modificar una o m´as funciones de este”. Es Toda sustancia qu´ımica de origen
natural o sint´etico que al introducirse por cualquier v´ıa (oral-nasal-intramuscular-intravenosa)
ejerce un efecto sobre el sistema nervioso central (SNC), compuesto por el cerebro y la m´edula
espinal, de los organismos vivos [5]. Estas sustancias son capaces de inhibir el dolor, modificar el
estado an´ımico o alterar las percepciones.
La producci´on, consumo, comercializaci´on y tr´afico il´ıcito de drogas, constituyen una pro-
blem´atica de relevancia social desde que el ser humano descubri´o que el consumo de algunas
sustancias (drogas) modificaba su estado de conciencia. La drogadicci´on es una enfermedad que
consiste en la dependencia de sustancias que afectan el sistema nervioso central y las funciones
cerebrales, produciendo alteraciones en el comportamiento, la percepci´on, el juicio y las emo-
ciones. Los efectos de las drogas son diversos, dependiendo del tipo de droga y la cantidad o
frecuencia con la que se consume. Pueden producir alucinaciones, intensificar o entorpecer los
sentidos, provocar sensaciones de euforia o desesperaci´on. Algunas drogas pueden incluso llevar a
la locura o la muerte [8]. El consumo de drogas, tanto legales como ilegales, est´a muy presente
en nuestra sociedad, y se ha convertido en un severo problema de salud p´ublica en el mundo,
que est´a generando consecuencias negativas no s´olo en el ´ambito individual de quien la consume,
sino tambi´en a nivel familiar y de la sociedad en su conjunto.
1.1 Problem´atica a nivel mundial
Seg´un el Informe Mundial sobre las Drogas 2017 de la UNODC, la legalizaci´on del cannabis en
algunas partes del mundo parece haber acelerado el consumo diario y las consecuencias relacio-
nadas para la salud, conjuntamente al aumento sin precedentes de la fabricaci´on de coca´ına, la
expansi´on de las drogas sint´eticas a nuevos mercados y las continuas deficiencias en la disponibi-
lidad de tratamientos contra las drogas. Alrededor de 284 millones de personas de entre 15 y 64
a˜nos consumieron drogas en todo el mundo en 2020, lo que supone un aumento del 26 % respecto
a la d´ecada anterior.
Las personas j´ovenes est´an consumiendo m´as drogas y los niveles de consumo actuales en
muchos pa´ıses son m´as altos que los de la generaci´on anterior. En
´
Africa y Am´erica Latina, las
personas menores de 35 a˜nos representan la mayor´ıa de quienes reciben tratamiento por trastornos
relacionados con el consumo de drogas.
Se estima que, a nivel global, 11.2 millones de personas se inyectan drogas. Alrededor de la
mitad vive con hepatitis C; 1.4 millones con VIH y 1.2 millones, con ambos.
La legalizaci´on del cannabis en Norteam´erica parece haber aumentado su consumo diario,
especialmente el de productos cann´abicos potentes y sobre todo entre las personas adultas j´ove-
nes. Tambi´en se han reportado aumentos relacionados en personas con trastornos psiqui´atricos,
suicidios y hospitalizaciones. La legalizaci´on ha incrementado los ingresos fiscales y, en general,
ha reducido las tasas de detenci´on por posesi´on de cannabis.
La producci´on de coca´ına alcanz´o un m´aximo hist´orico en 2020, con un crecimiento del 11 %
respecto a 2019, alcanzando las 1.982 toneladas. Las incautaciones de coca´ına tambi´en aumenta-
ron, a pesar de la pandemia de COVID-19, a un r´ecord de 1.424 toneladas en 2020. Casi el 90 %
de la coca´ına incautada a nivel mundial en 2021 fue traficada en contenedores y/o por mar. Los
datos sugieren que el tr´afico de coca´ına se est´a expandiendo a otras regiones fuera de los princi-
pales mercados de Am´erica del Norte y Europa, con niveles crecientes de tr´afico hacia
´
Africa y
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 29–43
32 Ber´onica Aguilar - Adolfo Fern´andez - Sandy S´anchez - Antonio Ruiz
Asia.
El tr´afico de metanfetamina contin´ua expandi´endose geogr´aficamente; 117 pa´ıses informaron
sobre incautaciones de metanfetamina entre 2016 y 2020, frente a 84 que lo hicieron entre 2006
y 2010. Por su parte, las cantidades de metanfetamina incautadas se quintuplicaron entre 2010 y
2020.
La producci´on de opio en todo el mundo creci´o un 7 % entre 2020 y 2021, alcanzando las 7.930
toneladas, debido principalmente a un aumento de la producci´on en Afganist´an. Sin embargo,
la superficie global de cultivo de amapola se redujo un 16 %, con 246.800 hect´areas cultivadas
durante el mismo periodo.
En Estados Unidos y Canad´a, las muertes por sobredosis, provocadas principalmente por la
epidemia del uso no m´edico del fentanilo, siguen batiendo r´ecords. Las estimaciones preliminares
en Estados Unidos apuntan a m´as de 107.000 muertes por sobredosis en 2021, frente a unas 92.000
en 2020.
1.2 Situaci´on en Cuba
Cuba no est´a ajena a la amenaza de la droga y sus impactos. Las instituciones y programas con
que cuenta el Estado cubano para la protecci´on a la familia, la ni˜nez y la juventud, as´ı como
a la seguridad social, el acceso universal y gratuito a la salud, educaci´on, cultura y recreaci´on,
dan garant´ıa al despliegue sostenible de la pol´ıtica antidroga estructurada y multifactorial con
participaci´on activa de las organizaciones sociales y de masas, lo cual constituye su principal
fortaleza. En Cuba la producci´on, venta, demanda, tr´afico, distribuci´on y tenencia il´ıcita de
drogas, estupefacientes o sustancias psicotr´opicas son delitos severamente penados por la ley [7].
2 Presentaci´on del modelo matem´atico
Estudiemos el caso de una droga ingerida para evaluar su eliminaci´on a trav´es de los comparti-
mientos presentados en el diagrama siguiente, donde vamos a suponer que Sc es la concentraci´on
de la droga en el Sistema circulatorio, Or es la concentraci´on de la droga en el
´
Organo y M e es
la concentraci´on de la droga en el Metabolito respectivamente.
Figura 1: Diagrama compartimental del metabolismo de la droga
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 29–43
Estudio cualitativo del metabolismo de una droga ingerida 33
En virtud de este diagrama se formula el siguiente modelo de ecuaciones diferenciales ordina-
rias
dS
c
dt
= −(a
12
− a
11
+ k
1
)S
c
+ a
21
O
r
+ a
31
M
e
+ S
C
(S
c
, O
r
, M
e
)
dO
r
dt
= a
12
S
c
− (a
21
+ a
23
)O
r
+ a
32
M
e
+ O
R
(S
c
, O
r
, M
e
)
dM
e
dt
= a
13
S
c
+ a
23
O
r
− (a
31
+ a
33
+ k
3
)M
e
+ M
E
(S
c
, O
r
, M
e
)
(2.1)
donde
S
C
(S
c
, O
r
, M
e
) =
X
|p|≥2
S
(p)
C
(t)S
p
1
c
O
p
2
r
M
p
3
e
, |p| = p
1
+ p
2
+ p
3
O
R
(S
c
, O
r
, M
e
) =
X
|p|≥2
O
(p)
R
(t)S
p
1
c
O
p
2
r
M
p
3
e
, |p| = p
1
+ p
2
+ p
3
M
E
(S
c
, O
r
, M
e
) =
X
|p|≥2
M
(p)
E
(t)S
p
1
c
O
p
2
r
M
p
3
e
, |p| = p
1
+ p
2
+ p
3
Consideremos
¯
S
c
,
¯
O
r
y
¯
M
e
los valores admisibles de la droga en los compartimentos I, II y
III respectivamente y
˜
S
c
,
˜
O
r
y
˜
M
e
las concentraciones totales de la toxina en el correspondiente
compartimiento, de modo que las variables S
c
=
˜
S
c
−
¯
S
c
, O
r
=
˜
O
r
−
¯
O
r
y M
e
=
˜
M
e
−
¯
M
e
y cuando
S
c
→ 0, O
r
→ 0 y M
e
→ 0 se cumplen las siguientes condiciones
˜
S
c
→
¯
S
c
,
˜
O
r
→
¯
O
r
y
˜
M
e
→
¯
M
e
lo
cual constituye el objetivo principal de este trabajo. La cantidad de droga que se encuentra en los
compartimientos cumple el principio de conservaci´on de masas, o sea N = S
c
(t) + O
r
(t) + M
e
(t).
Donde a
ij
> 0 representa la concentraci´on de droga que se traslada desde el compartimiento
i al compartimiento j
a
11
≥ 0 representa la concentraci´on de droga que comienza a circular en el sistema, a
11
= 0
cuando no se consume y a
11
> 0 si todav´ıa sigue consumiendo la droga.
Las series S
C
(S
c
, O
r
, M
e
), O
R
(S
c
, O
r
, M
e
) y M
E
(S
c
, O
r
, M
e
) son perturbaciones externas,
como por ejemplo si el que consume droga es alcoh´olico, si por el contrario es un atleta saludable
que realiza ejercicios f´ısicos y comienza a tomar drogas etc., desde el punto de vista matem´atico
son infinitesimales de orden superior.
Por otra parte, k
1
> 0 representa la concentraci´on de droga que es eliminada desde el Sistema
circulatorio. k
3
> 0 representa la concentraci´on de droga que es eliminada desde el Metabolito.
Adem´as, −a
ij
x
i
representa el paso del elemento x
i
desde el compartimento i y con signo positivo
la llegada al compartimento j. Con el objetivo de reducir el n´umero de par´ametros introducimos
el siguiente cambio de variables:
x
1
= S
c
, x
2
= O
r
, x
3
= M
e
, a = a
12
− a
11
, b = a
21
+ a
23
c = a
31
+ a
33
,
vamos a considerar que la perturbaci´on ocurre en la ecuaci´on del ´organo, o sea S
C
(S
c
, O
r
, M
e
) = 0,
O
R
(S
c
, O
r
, M
e
) = α
2
O
r
3
y M
e
(S
c
, O
r
, M
e
) = 0, de modo que el sistema con las nuevas variables
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 29–43
34 Ber´onica Aguilar - Adolfo Fern´andez - Sandy S´anchez - Antonio Ruiz
se transforma en:
dx
1
dt
= −(a + k
1
)x
1
+ a
21
x
2
+ a
31
x
3
dx
2
dt
= a
12
x
1
− bx
2
+ a
32
x
3
+ α
2
x
3
2
dx
3
dt
= a
13
x
1
+ a
23
x
2
− (c + k
3
)x
3
(2.2)
3 An´alisis cualitativo
Analicemos el comportamiento de las trayectorias del sistema (2.2) en una vecindad de la posici´on
de equilibrio (0,0,0), para lo cual se emplea el m´etodo de primera aproximaci´on. La matriz de la
parte lineal del sistema tiene la forma:
A =
−(a + k
1
) a
21
a
31
a
12
−b a
32
a
13
a
23
−(c + k
3
)
donde el polinomio de Hurwitz asociado a la matriz A tiene la expresi´on:
λ
3
+ n
1
λ
2
+ n
2
λ + n
3
,
donde
n
1
= (a + b + c + k
1
+ k
3
)
n
2
= a(b + c + k
3
) + b(c + k
1
+ k
3
) + k
1
(c + k
3
) − a
12
a
21
− a
13
a
31
− a
23
a
32
n
3
= (a + k
1
) (b (c + k
3
) − a
23
a
32
) − a
13
(a
31
b + a
21
a
32
) − a
12
(a
21
(c + k
3
) + a
23
a
31
)
por tanto el comportamiento de las trayectorias alrededor de la posici´on de equilibrio est´a sujeto
al siguiente teorema.
Teorema 3.1. Si se cumplen las condiciones siguientes:
• a
12
+ b + c + k
1
+ k
3
> a
11
.
• a(b + c + k
3
) + b(c + k
1
+ k
3
) + k
1
(c + k
3
) > a
12
a
21
+ a
13
a
31
+ a
23
a
32
.
• (a + k
1
) (b (c + k
3
) − a
23
a
32
) > a
13
(a
31
b + a
21
a
32
) + a
12
(a
21
(c + k
3
) + a
23
a
31
).
entonces, el sistema es asint´oticamente estable.
Demostraci´on. De cumplirse estas condiciones todos los menores principales de la matriz de
Hurwitz,
H
1
=
n
1
1 0
n
3
n
2
n
1
0 0 n
3
ser´an mayores que cero, por lo tanto esta es una condici´on necesaria y suficiente para que las
ra´ıces del polinomio caracter´ıstico asociado a la matriz A tengan parte real negativa, de este
modo, el sistema es asint´oticamente estable, en caso contrario es inestable.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 29–43
Estudio cualitativo del metabolismo de una droga ingerida 35
Nota 3.1. Es claro que la condici´on a
12
+ b + c + k
1
+ k
3
> a
11
se refiere a que si en el sistema
la concentraci´on de droga que se encuentra en los compartimientos y la concentraci´on de droga
que se elimina es menor que la concentraci´on de entrada a
11
habr´a control en el sistema, en caso
contrario, si ocurre que a
12
+ b + c + k
1
+ k
3
< a
11
la concentraci´on de entrada es superior a la
que se encuentra en los compartimientos y la que se puede eliminar, de modo que estamos en
presencia de una sobredosis y el sistema es inestable, en este caso las consecuencias para la salud
son nefastas y de ocurrir esto el paciente puede morir.
3.1 Caso en que aparecen dos valores propios imaginarios puros y uno
nulo
En [12] se estudia el caso en que se presenta un valor propio nulo, uno negativo y otro par con parte
real negativa para lo cual fue necesario reducir el sistema en la forma cuasi-normal combinada,
en este caso vamos a estudiar el caso en que aparecen dos valores complejos conjugados con parte
imaginaria nulo y otro valor propio nulo, supongamos que en el sistema (2.2) se cumplen las
siguientes condiciones:
a = −k
1
, a
12
= 0, b = −(c + k
3
), a
23
= c − k
3
, a
21
= a
31
, a
31
= −a
31
, a
32
= −(c + k
3
),
supongamos adem´as que a
13
a
31
< 2k
3
(c + k
3
), en cuyo caso se tiene el siguiente sistema
dx
1
dt
= a
31
x
2
− a
31
x
3
dx
2
dt
= (c + k
3
)x
2
− (c + k
3
)x
3
+ α
2
x
3
2
dx
3
dt
= a
13
x
1
+ (c − k
3
)x
2
− (c + k
3
)x
3
,
(3.1)
la matriz de la parte lineal del sistema tiene la forma:
A
3
=
0 a
31
−a
31
0 c + k
3
−(c + k
3
)
a
13
c − k
3
−(c + k
3
)
y los valores propios son: λ
1
= 0, λ
2
=
√
σi y λ
3
= −
√
σi, donde σ = 2k
3
(c + k
3
) − a
13
a
31
.
Mediante el cambio de variables x=S
3
y se reduce el sistema al sistema equivalente
dy
1
dt
= Y
1
(y
1
, y
2
, y
3
)
dy
2
dt
= σiy
2
+ Y
2
(y
1
, y
2
, y
3
)
dy
3
dt
= −σiy
3
+ Y
3
(y
1
, y
2
, y
3
)
(3.2)
donde:
Y
1
(y
1
, y
2
, y
3
) =
2k
3
a
13
+ a
31
iy
2
√
σ + i(c + k
3
)
y
1
+
y
3
c + k
3
+ i
√
σ
!
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 29–43
36 Ber´onica Aguilar - Adolfo Fern´andez - Sandy S´anchez - Antonio Ruiz
Y
2
(y
1
, y
2
, y
3
) = y
1
+
(c + k
3
)
c + k
3
− i
√
σ
y
2
+
(c + k
3
)
c + k
3
+ i
√
σ
y
3
Y
3
(y
1
, y
2
, y
3
) = y
1
+ y
2
+ y
3
S
3
=
2k
3
a
13
−
a
31
i
√
σ − (c + k
3
)
a
31
i
√
σ + c + k
3
1
c + k
3
−i
√
σ + c + k
3
c + k
3
i
√
σ + c + k
3
1 1 1
Teorema 3.2. El cambio de variables:
y
1
= z
1
+ h
1
(z
1
) +
¯
h
1
(z
1
, z
2
, z
3
)
y
2
= z
2
+ h
2
(z
1
)
y
3
= z
3
+ h
3
(z
1
)
(3.3)
transforma el sistema (3.2) al sistema:
dz
1
dt
= Z
1
(z
1
)
dz
2
dt
= σiz
2
+ Z
2
(z
1
, z
2
, z
3
)
dz
3
dt
= −σiz
3
+ Z
3
(z
1
, z
2
, z
3
)
(3.4)
donde z
3
= ¯z
2
, Z
2
(z
1
, z
2
, z
3
), Z
3
(z
1
, z
2
, z
3
) y
¯
h
1
(z
1
, z
2
, z
3
) se anulan para z
2
= z
3
= 0.
Demostraci´on. Derivando (3.3) a lo largo de las trayectorias de los sistemas (3.2) y (3.4) se
obtiene el sistema:
Y
1
(z
1
+ h
1
+
¯
h
1
, z
2
+ h
2
, z
3
+ h
3
) = Z
1
(z
1
) +
dh
1
dz
1
Z
1
(z
1
) +
∂
¯
h
1
∂z
1
Z
1
(z
1
) +
∂
¯
h
1
∂z
2
σiz
2
+
+
∂
¯
h
1
∂z
2
Z
2
(z
1
, z
2
, z
3
) −
∂
¯
h
1
∂z
3
σiz
3
+
∂
¯
h
1
∂z
3
Z
3
(z
1
, z
2
, z
3
)
σih
2
+ Y
2
(z
1
+ h
1
+
¯
h
1
, z
2
+ h
2
, z
3
+ h
3
) = Z
2
(z
1
, z
2
, z
3
) +
dh
2
dz
1
Z
1
(z
1
)
−σih
3
+ Y
3
(z
1
+ h
1
+
¯
h
1
, z
2
+ h
2
, z
3
+ h
3
) = Z
3
(z
1
, z
2
, z
3
) +
dh
3
dz
1
Z
1
(z
1
)
(3.5)
como
¯
h
1
(z
1
, z
2
, z
3
) =
X
|p|≥2
¯
h
(p)
1
z
p
1
1
z
p
2
2
z
p
3
3
, entonces
∂
¯
h
1
∂z
2
z
2
= p
2
z
2
X
|p|≥2
¯
h
(p)
1
z
p
1
1
z
p
2
−1
2
z
p
3
3
= p
2
¯
h
1
,
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 29–43
Estudio cualitativo del metabolismo de una droga ingerida 37
similarmente
∂
¯
h
1
∂z
3
z
3
= p
3
¯
h
1
, sustituyendo estas expresiones en (3.5) se obtiene:
Y
1
(z
1
+ h
1
+
¯
h
1
, z
2
+ h
2
, z
3
+ h
3
) −
∂
¯
h
1
∂z
1
Z
1
(z
1
) −
∂
¯
h
1
∂z
2
Z
2
(z
1
, z
2
, z
3
)−
−
∂
¯
h
1
∂z
3
Z
3
(z
1
, z
2
, z
3
) −
dh
1
dz
1
Z
1
(z
1
) = Z
1
(z
1
) + σi(p
2
− p
3
)
¯
h
1
Y
2
(z
1
+ h
1
+
¯
h
1
, z
2
+ h
2
, z
3
+ h
3
) −
dh
2
dz
1
Z
1
(z
1
) = Z
2
(z
1
, z
2
, z
3
) −
√
σih
2
Y
3
(z
1
+ h
1
+
¯
h
1
, z
2
+ h
2
, z
3
+ h
3
) −
dh
3
dz
1
Z
1
(z
1
) = Z
3
(z
1
, z
2
, z
3
) +
√
σih
3
cuando z
2
= z
3
= 0, se calculan las series Z
1
(z
1
), h
1
(z
1
), h
2
(z
1
) y h
3
(z
1
) por medio del sistema
siguiente
Y
1
(z
1
+ h
1
, h
2
, h
3
) −
dh
1
dz
1
Z
1
(z
1
) = Z
1
(z
1
)
Y
2
(z
1
+ h
1
, h
2
, h
3
) −
dh
2
dz
1
Z
1
(z
1
) = −
√
σih
2
Y
3
(z
1
+ h
1
, h
2
, h
3
) −
dh
3
dz
1
Z
1
(z
1
) =
√
σih
3
,
donde:
Z
1
(z
1
) = −
a
13
a
31
α
2
σ
2
z
3
1
−
3a
2
13
a
2
31
α
2
2
σ
4
z
5
1
+ . . .
h
2
(z
1
) =
iα
2
(c + k
3
− i
√
σ)
σ
2
+ 2k
3
(i
√
σ)
2σ
3
√
σi
z
3
1
+
3ia
13
a
31
α
2
2
(c + k
3
− i
√
σ)
σ
2
+ 2k
3
(i
√
σ)
2σ
4
√
σ
z
5
1
+ . . .
h
3
(z
1
) = −
iα
2
(c + k
3
+ i
√
σ)
σ
2
+ 2k
3
(−i
√
σ)
2σ
3
√
σi
z
3
1
+
3ia
13
a
31
α
2
2
(c + k
3
+ i
√
σ)
−σ
2
+ 2k
3
(i
√
σ)
2σ
4
√
σ
z
5
1
+ . . .
en cambio cuando z
2
6= 0, y z
3
6= 0 respectivamente se calculan las series Z
2
(z
1
, z
2
, z
3
), Z
3
(z
1
, z
2
, z
3
)
y
¯
h
1
(z
1
, z
2
, z
3
) por medio del sistema
Y
1
(z
1
+
¯
h
1
, z
2
, z
3
) −
∂
¯
h
1
∂z
1
Z
1
(z
1
) −
∂
¯
h
1
∂z
2
Z
2
(z
1
, z
2
, z
3
) −
∂
¯
h
1
∂z
3
Z
3
(z
1
, z
2
, z
3
) = σi(p
2
− p
3
)
¯
h
1
Y
2
(z
1
+
¯
h
1
, z
2
, z
3
) = Z
2
(z
1
, z
2
, z
3
)
Y
3
(z
1
+
¯
h
1
, z
2
, z
3
) = Z
3
(z
1
, z
2
, z
3
),
donde:
¯
h
1
(z
1
, z
2
, z
3
) =
− 6a
13
a
31
α
2
(c + k
3
)
2
σ
2
(c + k
3
) + σ
3
z
1
z
2
z
3
+ . . .
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 29–43
38 Ber´onica Aguilar - Adolfo Fern´andez - Sandy S´anchez - Antonio Ruiz
Z
2
(z
1
z
2
z
3
) = −
3iα
2
(c + k
3
)
2
σ
2
+ 2k
3
√
σi
σ
2
√
σ(c + k
3
) + σ
3
i
z
1
z
2
z
3
+ . . .
Z
3
(z
1
, z
2
, z
3
) =
3α
2
(c + k
3
)
2
−σ
2
+ 2k
3
√
σi
σ
3
+ σ
2
√
σ(c + k
3
)i
z
1
z
2
z
3
+ . . .
como la transformaci´on es distinguida, todos los t´erminos resonantes son arbitrarios y en este
caso se toma h
1
(z
1
) = 0, para el caso no resonante h
1
(z
1
) se obtiene de forma ´unica, por lo tanto
el sistema (3.4) tiene la expresi´on:
dz
1
dt
= −
a
13
a
31
α
2
σ
2
z
3
1
−
3a
2
13
a
2
31
α
2
2
σ
4
z
5
1
+ . . .
dz
2
dt
= σiz
2
−
3iα
2
(c + k
3
)
2
σ
2
+ 2k
3
√
σi
σ
2
√
σ(c + k
3
) + σ
3
i
z
1
z
2
z
3
+ . . .
dz
3
dt
= −σiz
3
+
3α
2
(c + k
3
)
2
−σ
2
+ 2k
3
√
σi
σ
3
+ σ
2
√
σ(c + k
3
)i
z
1
z
2
z
3
+ . . .
lo que prueba la existencia del cambio de variables.
Teorema 3.3. La transformaci´on de coordenadas:
z
1
= u
1
z
2
= u
2
+ h
2
(u
2
, u
3
)
z
3
= u
3
+ h
3
(u
2
, u
3
)
(3.6)
reduce el sistema (3.4) a la Forma Normal Combinada:
u
0
1
= U
1
(u
1
)
u
0
2
= σiu
2
+ u
2
P
2
(u
2
u
3
)
u
0
3
= −σiu
3
+ u
3
P
3
(u
2
u
3
).
(3.7)
Demostraci´on. Derivando (3.6) a lo largo de las trayectorias de los sistemas (3.4) y (3.7) se
obtiene el sistema:
Z
1
(u
1
) = U
1
(u
1
)
σih
2
+ Z
2
(u
1
, u
2
+ h
2
, u
3
+ h
3
) = u
2
P
2
(u
2
u
3
) +
∂h
2
∂u
2
σiu
2
+
∂h
2
∂u
2
u
2
P
2
(u
2
u
3
) −
∂h
2
∂u
3
σiu
3
+
+
∂h
2
∂u
3
u
3
P
3
(u
2
u
3
)
−σih
3
+ Z
3
(u
1
, u
2
+ h
2
, u
3
+ h
3
) = u
3
P
3
(u
2
u
3
) +
∂h
3
∂u
2
σiu
2
+
∂h
3
∂u
2
u
2
P
2
(u
2
u
3
) −
∂h
3
∂u
3
σiu
3
+
+
∂h
3
∂u
3
u
3
P
3
(u
2
u
3
).
(3.8)
Para las series h
2
(u
2
, u
3
) =
X
|p|≥2
h
(p)
2
u
p
2
2
u
p
2
2
, por tanto
∂h
2
∂u
2
u
2
= p
2
u
2
X
|p|≥2
h
(p)
2
u
p
2
−1
2
u
p
3
3
= p
2
h
2
,
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 29–43
Estudio cualitativo del metabolismo de una droga ingerida 39
similarmente
∂h
2
∂u
3
u
3
= p
3
h
2
,
∂h
3
∂u
2
u
2
= p
2
h
3
y
∂h
3
∂u
3
u
3
= p
3
h
3
, por tanto sustituyendo estas expre-
siones en el sistema (3.8) se obtiene:
Z
1
(u
1
) = U
1
(u
1
)
(p
2
− p
3
− 1)σih
2
+ u
2
P
2
(u
2
u
3
) = Z
2
(u
1
, u
2
+ h
2
, u
3
+ h
3
) −
∂h
2
∂u
2
σiu
2
P
2
(u
2
u
3
)−
−
∂h
2
∂u
3
u
3
P
3
(u
2
u
3
)
(p
2
− p
3
+ 1)σih
3
+ u
3
P
3
(u
2
u
3
) = Z
3
(u
1
, u
2
+ h
2
, u
3
+ h
3
) −
∂h
3
∂u
2
σiu
2
P
2
(u
2
u
3
)−
−
∂h
3
∂u
3
u
3
P
3
(u
2
u
3
).
(3.9)
Cuando p
2
− p
3
− 1 = 0 y p
2
− p
3
+ 1 = 0 se calculan los coeficientes de las series P
2
(u
2
u
3
) y
P
3
(u
2
u
3
),
U
1
(u
1
) =
− a
13
a
31
α
2
σ
2
u
3
1
−
3a
2
13
a
2
31
α
2
2
σ
4
u
5
1
+ . . .
u
2
P
2
(u
2
u
3
) =
6α
2
k
3
(c + k
3
)
3
2σ ((c + k
3
)
2
+ σ)
u
2
2
u
3
−
3α
2
(c + k
3
)
3
2
√
σ ((c + k
3
)
2
+ σ)
iu
2
2
u
3
+ . . .
u
3
P
3
(u
2
u
3
) =
6α
2
k
3
(c + k
3
)
3
2σ ((c + k
3
)
2
+ σ)
u
2
u
2
3
+
3α
2
(c + k
3
)
3
2
√
σ ((c + k
3
)
2
+ σ)
iu
2
u
2
3
+ . . .
en el caso contrario se calculan los coeficientes de las series h
2
(u
2
, u
3
) y h
3
(u
2
, u
3
), donde:
h
2
(u
2
, u
3
) = −
3iα
2
(c + k
3
)
3
(−a
13
a
31
+ 2k
3
(c + k
3
+ i
√
σ))
2
√
σ (2k
3
(c + k
3
) − a
13
a
31
) (c + k
3
+ i
√
σ)
2
u
2
u
2
3
+ . . .
h
3
(u
2
, u
3
) =
3iα
2
(c + k
3
)
3
(−a
13
a
31
+ 2k
3
(c + k
3
+ i
√
σ))
2
√
σ (2k
3
(c + k
3
) − a
13
a
31
) (c + k
3
+ i
√
σ)
2
u
2
2
u
3
+ . . .
lo que prueba la existencia del cambio de variables. De este modo el sistema (3.7) tiene la forma:
u
0
1
= −
a
13
a
31
α
2
σ
2
u
3
1
−
3a
2
13
a
2
31
α
2
2
σ
4
u
5
1
+ . . .
u
0
2
= σiu
2
+
3α
2
k
3
(c + k
3
)
3
σ ((c + k
3
)
2
+ σ)
u
2
2
u
3
−
3α
2
(c + k
3
)
3
2
√
σ ((c + k
3
)
2
+ σ)
iu
2
2
u
3
+ . . .
u
0
3
= −σiu
3
+
3α
2
k
3
(c + k
3
)
3
σ ((c + k
3
)
2
+ σ)
u
2
u
2
3
+
3α
2
(c + k
3
)
3
2
√
σ ((c + k
3
)
2
+ σ)
iu
2
u
2
3
+ . . . .
(3.10)
Teorema 3.4. Si se cumplen las condiciones siguientes:
• α
2
a
13
a
31
< 0
•
3α
2
k
3
(c + k
3
)
3
σ ((c + k
3
)
2
+ σ)
< 0,
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 29–43
40 Ber´onica Aguilar - Adolfo Fern´andez - Sandy S´anchez - Antonio Ruiz
entonces las trayectorias del sistema (3.10) son asint´oticamente estables, en caso contrario son
inestables.
Demostraci´on. Sea la funci´on de Liapunov:
V
3
(u
1
, u
2
, u
3
) =
u
2
1
2
+ u
2
u
3
,
derivando respecto a t se obtiene:
dV
3
dt
= −
a
13
a
31
α
2
σ
2
u
4
1
+
6α
2
k
3
(c + k
3
)
3
σ ((c + k
3
)
2
+ σ)
u
2
2
u
2
3
+ R
3
(u
1
, u
2
, u
3
).
La expresi´on R
3
(u
1
, u
2
, u
3
) contiene potencias de grado superior a tres, por tanto, usando el
principio de primera aproximaci´on podemos concluir que
dV
3
dt
< 0 si se cumplen simult´aneamente
las condiciones α
2
a
13
a
31
< 0 y
3α
2
k
3
(c + k
3
)
3
σ ((c + k
3
)
2
+ σ)
< 0, de este modo la posici´on de equilibrio es
asint´oticamente estable.
Supongamos ahora que se cumplen las condiciones del Teorema 3.4
Ejemplo 3.1. Sean c = −0,3, a
13
= 0,1, a
31
= 0,1, k
3
= 0,1 y α
2
= −0,1, de esta forma el
sistema resultante es:
dx
1
dt
= 0,1x
2
− 0,1x
3
dx
2
dt
= −0,2x
2
+ 0,2x
3
− 0,1x
3
2
dx
3
dt
= 0,1x
1
− 0,4x
2
+ 0,2x
3
,
los valores propios de la matriz fundamental son λ
1
= 0, λ
2
= 0,022i y λ
3
= −0,022i, en este
caso el comportamiento gr´afico muestra estabilidad.
Figura 2: Gr´afico de las trayectorias x
1
(t) en el
Ejemplo 3.1
Figura 3: Gr´afico de las trayectorias de x
2
(t)
en el Ejemplo 3.1
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 29–43
Estudio cualitativo del metabolismo de una droga ingerida 41
Figura 4: Gr´afico de las trayectorias x
3
(t) en el Ejemplo 3.1
Figura 5: Gr´afico de las trayectorias de x
2
(t) vs
x
3
en el Ejemplo 3.1
Figura 6: Gr´afico de las trayectorias x
2
vs x
3
(t)
vs x
1
en el Ejemplo 3.1
Supongamos ahora que no se cumplen las condiciones del teorema (3.4)
Ejemplo 3.2. Sean c = 0,3, a
13
= 0,1, a
31
= 0,1, k
3
= −0,1 y α
2
= 0,1, de esta forma el sistema
resultante es:
dx
1
dt
= 0,1x
2
− 0,1x
3
dx
2
dt
= 0,2x
2
− 0,2x
3
+ 0,1x
3
2
dx
3
dt
= 0,1x
1
+ 0,4x
2
− 0,2x
3
,
los valores propios de la matriz fundamental son λ
1
= 0, λ
2
= 0,02236i y λ
3
= −0,02236i, en
este caso el comportamiento gr´afico muestra estabilidad.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 29–43
42 Ber´onica Aguilar - Adolfo Fern´andez - Sandy S´anchez - Antonio Ruiz
Figura 7: Gr´afico de las trayectorias x
1
(t) en el
Ejemplo 3.2
Figura 8: Gr´afico de las trayectorias de x
2
(t)
en el Ejemplo 3.2
Figura 9: Gr´afico de las trayectorias x
3
(t) en el Ejemplo 3.2
Figura 10: Gr´afico de las trayectorias de x
2
(t) vs
x
3
en el Ejemplo 3.2
Figura 11: Gr´afico de las trayectorias x
2
vs
x
3
(t) vs x
1
en el Ejemplo 3.2
Nota 3.2. Si no se cumplen las condiciones el teorema (3.4), se deben tomar las medidas pro-
fil´acticas necesarias para modificar el cuadro cl´ınico y evitar un desenlace fatal como consecuencia
de una concentraci´on excesiva de la droga.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 29–43
Estudio cualitativo del metabolismo de una droga ingerida 43
Referencias
[1] Aguilar, B. Lib´orio, A. S´anchez, S. Ribeiro, Z. Lacort, M. Ferreira, R. Ruiz, A. I. Mathema-
tical Modeling of an Ingerable Drug, IOSR Journal of Mathematics (IOSR-JM), 15 (2019),
75–80.
[2] Aguilar, B. Le˜ao, L. S´anchez, S. Oliveira, K. Lacort, M. Ferreira, R. Rodrigues, E. Ruiz, A.
I. Combined normal form in the model of an injectable drug, Journal of multidisciplinary
engineering science and technology (JMEST), 7 (2020), 11535-11540.
[3] Aguilar, B. Fernandes, N. Oliveira, K. Rodrigues, E. Le˜ao, L. Lib´orio, A. S´anchez, S. Ruiz,
A. I. Two critical cases of the model of an inhalable drug, IOSR Journal of Mathematics
(IOSR-JM), 16 (2020), 58–64.
[4] Campollo Rivas, O. Modelos matem´aticos en medicina y biolog´ıa. Bases te´oricas y funda-
mentos, Revista de Investigaci´on Cl´ınica, 46 (1994), 307–307.
[5] D´ıaz, M´onica M´endez. Contreras, Alejandra E. Ruiz. G´omez, Berta Prieto. Romano, An-
tonio. Caynas, Seraid. Garc´ıa, Oscar Prosp´ero. El cerebro y las drogas, sus mecanismos
neurobiol´ogicos, Salud mental, 33 (2010), 451–456.
[6] Feizabadi, Mitra Shojania. Volk, Christina. Hirschbeck, Sarah. A two-compartment model
interacting with dynamic drugs, Applied Mathematics Letters, 22 (2009), 1205–1209.
[7] G´alvez Cabrera, Elisa. Bases legales de la actuaci´on m´edica ante el uso de drogas il´ıcitas en
Cuba, Revista Cubana de Medicina General Integral, 21 (2005).
[8] G´omez, C´esar Pereiro. BARRERA, ANA BERMEJO. DE ABAJO, BENITO L
´
OPEZ. Muer-
te por sobredosis: de la reacci´on aguda tras consumo de opi´aceos a la muerte asociada al
policonsumo, Adicciones, 17 (2005), 151–165.
[9] Khanday, M. A. Rafiq, Aasma. Nazir, Khalid. Mathematical models for drug diffusion through
the compartments of blood and tissue medium, Alexandria Journal of Medicine, 53 (2017),
245–249.
[10] L´opez, Miguel And´eriz. Ecuaciones diferenciales en farmacocin´etica, Revista de la Academia
de Ciencias Exactas, F´ısicas, Qu´ımicas y Naturales de Zaragoza, 73 (2018), 59–95.
[11] Rodr´ıguez M´as, Dannisel. Bermudes Sosa, Juana Emilia. S´anchez Dom´ınguez, Sandy. Ruiz
Chaveco, Antonio Iv´an. Estudio cualitativo de un modelo matem´atico para la eliminaci´on de
una droga incorporada por v´ıa intravenosa, COMPUMAT, (2019).
[12] Ruiz, A. I. S´anchez, S. Fern´andez, A. A. Mathematical modeling of the polymerization of
hemoglobin S, Lap Lambert Academic Publishing, Deutschland, (2015).
[13] Ruiz, A. I., S´anchez, S., Le˜ao, L. M., Andrade, F., Lacort, M., Ferreira, R., de Carvalho,
E., Fern´andez, A. A. Da Costa, T. Applications of Differential Equations in Mathematical
Modeling, CRV, Brazil, (2016).
[14] Ruiz, A. I., Fern´andez, A. A., Lib´orio, A. M., Cabal, C., Batista, E., de Carvalho, E., Chagas,
F., Le˜ao, L. M., Lacortt, M., Gonz´alez, O. A., Castan˜eda, P., Ferreira, R., S´anchez, S.,
Marinho, T. V., da Costa, T. and Ribeiro, Z. Modelagem matem´atica de problemas diversos,
Appris, Brazil, (2018).
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 29–43
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 44–53
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.11539852
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
T op(X) y Spec(τ ) como espacios primales
T op(X) and Spec(τ ) as primal spaces
Viviana Benavides (bfviviana@gmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4984-4613
Estudiante Maestr´ıa Acad´emica con Trayectoria de Investigaci´on en Matem´atica, Instituto de
Posgrado
Universidad T´ecnica de Manab´ı
Portoviejo, Manab´ı, Ecuador
Jorge Enrique Vielma (jevielma@espol.edu.ec)
ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9620-6756
Departamento de Matem´aticas, Facultad de Ciencias Naturales y Matem´aticas
Escuela Superior Polit´ecnica del Litoral
Guayaquil, Guayas, Ecuador
Resumen
Una topolog´ıa Alexandroff puede ser definida sobre un conjunto no vac´ıo X, a trav´es de
una funci´on f : X → X, decidiendo que los abiertos del espacio son los conjuntos A ⊂ X que
contienen a su preimagen, es decir τ
f
:= {A ⊂ X : f
−1
(A) ⊆ A}. Esta topolog´ıa es denomina-
da topolog´ıa primal, y al espacio (X, τ
f
) se lo llama espacio primal. En este trabajo se explora
una topolog´ıa primal τ
ψ
inducida en T op(X), a trav´es de la funci´on ψ : T op(X) → T op(X),
definida como ψ(τ ) = τ , con τ la clausura de τ en 2
X
con la topolog´ıa producto. Se prueba
que el conjunto de todas las topolog´ıas Alexandroff en T op(X) es denso en (T op(X), τ
ψ
∗
),
con τ
ψ
∗
la cotopolog´ıa. Se prueba adem´as que el conjunto φ(τ ) := {A ∈ τ
ψ
: τ /∈ A} es
un ideal maximal de τ
ψ
si y solo si τ es Alexandroff. Finalmente se exploran las topolog´ıas
primales en el espectro primo de un semianillo.
Palabras y frases clave: Topolog´ıa primal; espectro primo; semianillo; topolog´ıa Ale-
xandroff.
Abstract
An Alexandroff topology can be defined over a non-empty set X, through a function
f : X → X, deciding that the open sets are those subsets A ⊆ X that contain their
preimage, that is τ
f
:= {A ⊂ X : f
−1
(A) ⊆ A}. This topology is called primal topology
and the space (X, τ
f
) is called primal space. In this work we explore a primal topology
τ
ψ
induced on T op(X), through the funtion ψ : T op(X) → T op(X) defined as ψ(τ) =
τ,
with τ the closure of τ in 2
X
with the product topology. It is shown that the set of all
Alexandroff topologies in T op(X) is dense in (T op(X), τ
ψ
∗
), with τ
ψ
∗
the cotopology. It is
also shown that the set φ(τ ) := {A ∈ τ
ψ
: τ /∈ A} is a maximal ideal of τ
ψ
if and only if τ
is Alexandroff. Finally we explore the primal topologies in the prime spectrum of a semiring.
Key words and phrases: Primal topology; prime spectrum; semiring; Alexandroff
topology.
Recibido 29/11/2022. Revisado 28/02/2023. Aceptado 24/05/2023.
MSC (2010): Primary 54C99; Secondary 54H13.
Autor de correspondencia: Viviana Benavides
T op(X) y Spec(τ) como espacios primales 45
1 Introducci´on
Pavel Alexandroff en [1], introdujo una clase de espacios topol´ogicos que ´el demonim´o Espacios
discretos. Estos espacios son aquellos que son cerrados bajo uniones arbitrarias de conjuntos
cerrados. Es claro que esta definici´on es equivalente a que estos espacios son cerrados bajo inter-
secciones arbitrarias de conjuntos abiertos. Para evitar confusiones con aquellos espacios en los
que todo subconjunto es abierto, futuros autores cambiar´ıan regularmente su denominaci´on. Mc-
Cord en [8] los llama A-spaces, Johnstone en [7] los llama Alexandroff, Herman en [6], denomina
Espacios dispersos a los espacios cerrados bajo intersecciones de abiertos que adem´as son T
0
. A˜nos
despu´es, el nombre usado se mantendr´ıa como Espacios Alexandroff. En este trabajo se explora
una subclase propia de estos espacios, llamados Espacios funcionales Alexandroff (introducidos
en [10]) o simplemente Espacios primales, definidos a continuaci´on.
Definici´on 1.1. Sea X un conjunto no vac´ıo y f : X → X una funci´on, y τ
f
la colecci´on de todos
los conjuntos, A ⊂ X tal que A ∈ τ
f
si y solo si f
−1
(A) ⊂ A. La colecci´on τ
f
es denominada
topolog´ıa primal sobre X y (X, τ
f
) es denominado espacio primal.
Es f´acil ver, gracias a las propiedades de la pre-imagen de conjuntos, que la intersecci´on
arbitraria de abiertos de un espacio primal es un conjunto abierto, haciendo de ´este un espacio
Alexandroff. Para T op(X), el conjunto de todas las topolog´ıas sobre un conjunto no vac´ıo X, es
posible definir una topolog´ıa primal τ
ψ
a trav´es de la funci´on ψ : T op(X) → T op(X) definida
como ψ(τ) = τ, la clausura de τ en 2
X
con la topolog´ıa producto. En este trabajo se estudian
algunas de las propiedades topol´ogicas de este espacio. Asimismo se hace el estudio de algunas
propiedades de τ
ψ
vista como un semianillo.
En la ´ultima secci´on de este trabajo, se hace un estudio sobre el espectro primo de un se-
mianillo. En particular, se considera un semianillo Gelfand R y el conjunto de todos los ideales
primos de tal semianillo Spec(R). Se considera adem´as la funci´on φ : Spec(R) → Spec(R) defi-
nida como φ(P ) = M
P
con M
P
el ´unico ideal maximal que contiene a P . Se hace el estudio del
espacio (Spec(R), τ
φ
) y su relaci´on con el espacio (Spec(R), τ
z
) con τ
z
la topolog´ıa Zariski sobre
Spec(R).
2 Preliminares
En esta secci´on se muestran algunos de los resultados m´as fundamentales sobre espacios primales.
Es posible, para todo espacio primal, definir dos conjuntos elementales, sobre los cuales se pueden
construir abiertos y cerrados m´as generales del espacio.
Definici´on 2.1. Sea (X, τ
f
) un espacio primal y x ∈ X, entonces los siguientes conjuntos
Orb(x) = {f
n
(x) : n ≥ 0} y ker(x) =
[
{f
−n
(x) : n ≥ 0}
son denominados la ´orbita y el kernel de x, respectivamente.
Los siguientes son conocidos resultados sobre los conjuntos ya definidos.
Lema 2.1. Sea (X, τ
f
) un espacio primal y x ∈ X, entonces ker(x) es el m´ınimo abierto de X
que contiene a x.
Como resultado inmediato de este lema, se tiene que la colecci´on de kernels de todo elemento
de un espacio primal forma una base para la topolog´ıa primal.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 44–53
46 Viviana Benavides - Jorge Enrique Vielma
Lema 2.2. Sea (X, τ
f
) un espacio primal, entonces ker(x) es un subconjunto conexo de (X, τ
f
)
si x es un punto fijo.
Demostraci´on. Supongamos que ker(x) = A∪B donde A∩B = ∅, A y B 6= ∅ y adem´as A∩B = ∅,
A ∩ B = ∅. Supongamos que x ∈ A, entonces x /∈ B as´ı x ∈ B
C
. Por lo tanto, ker(x) ⊂ B
C
y as´ı
ker(x) ∩ B = ∅, una contradicci´on.
Nota 2.1. En futuras secciones, se usar´a tambi´en la notaci´on ker(x), para representar la m´ınima
vecindad abierta que contiene al punto x de un espacio topol´ogico X no necesariamente primal.
Lema 2.3. Sea (X, τ
f
) un espacio primal, entonces Orb(x) es el m´ınimo cerrado que contiene a
x.
El siguiente resultado aparece en [9].
Lema 2.4. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico y A un subconjunto de X. Si A es conexo, entonces
A es conexo.
Lema 2.5. Sea (X, τ
f
) un espacio primal, entonces Orb(x) es un subconjunto conexo de (X, τ
f
).
Demostraci´on. Es claro que {x} es conexo, y como {x} es conexo por el lema anterior, se tiene
que {x} = Orb(x) es conexo.
El siguiente resultado es mostrado en [10] en el Teorema 2.1.
Lema 2.6. Sea (X, τ
f
) un espacio primal. Dos puntos p, q ∈ X est´an en la misma componente
conexa si existen enteros no negativos n, m tales que f
n
(p) = f
m
(q).
3 Topolog´ıas primales en T op(X)
En esta secci´on se mostrar´an algunos resultados sobre una topolog´ıa primal definida para T op(X),
el conjunto de todas las topolog´ıas definidas para un conjunto no vac´ıo X. Se muestran, antes de
ello, algunas definiciones fundamentales.
Definici´on 3.1. Sea (X, τ
f
) un espacio primal. Un punto x ∈ X se dice punto fijo de X si
f(x) = x. Un punto y ∈ X se dice punto peri´odico de X si existe un entero n ≥ 1 tal que
f
n
(y) = y.
Ejemplo 3.1. Sea R
n
y f : R
n
→ R
n
una transformaci´on lineal, entonces 0
R
n
es un punto fijo
de R
n
.
Ejemplo 3.2. Sea N y α : N → N la funci´on de Collatz, definida como:
f(n) =
(
n
2
si n es par
3n + 1 si n es impar
entonces 1, 2, 4 son puntos peri´odicos de N que no son fijos.
Definici´on 3.2. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico y A ⊂ X; denotemos por C
τ
(A) a la familia
de cerrados que contienen a A. Como A ⊂ X y X es un cerrado, entonces C
τ
(A) es no vac´ıo.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 44–53
T op(X) y Spec(τ) como espacios primales 47
Definici´on 3.3. Llamaremos clausura de A o adherencia de A en X al conjunto:
¯
A :=
\
C
T
(A)
Los elementos de la clausura de A en X, se llaman puntos adherentes a A en X o simplemente
puntos adherentes a A si el espacio topol´ogico se da por sobreentendido [4].
De manera alternativa, se usar´a cl(A) para denotar tambi´en la clausura de A. Los siguientes
son interesantes resultados mostrado por Uzc´ategui y Vielma en [12].
Teorema 3.1. Sea τ una topolog´ıa sobre X, la clausura ¯τ de τ en 2
X
(i.e. {0, 1}
X
con la topolog´ıa
producto y 2 = {0, 1} con la topolog´ıa discreta) es una topolog´ıa.
Teorema 3.2. Sea τ una topolog´ıa sobre X. Entonces los siguientes son equivalentes:
1. τ es una topolog´ıa Alexandroff.
2. τ ⊆ 2
X
es cerrada.
De esta manera, la clausura τ de τ en 2
X
es la topolog´ıa Alexandroff m´as peque˜na que contiene
a τ . Sea T op(X) el conjunto de todas las topolog´ıas sobre un conjunto no vac´ıo X. Se define la
funci´on ψ : T op(X) → T op(X) de la siguiente manera:
ψ(τ) = ¯τ
donde ¯τ es la clausura topol´ogica de τ en 2
X
(con la topolog´ıa producto). La buena definici´on de
esta funci´on se obtiene de la unicidad de la clausura topol´ogica de un conjunto y por el Teorema
3.1. Esta funci´on adem´as, induce una topolog´ıa primal τ
ψ
en T op(X). Denotemos adem´as por
A(X) al conjunto de todas las topolog´ıas Alexandroff sobre X y P er(T op(X)) al conjunto de
puntos peri´odicos de ψ en T op(X).
El siguiente resultado fue mostrado por Echi en [5].
Lema 3.1. Sea (X, τ) un espacio primal, entonces X es T
0
si y solo si el conjunto de puntos
peri´odicos es igual al conjunto de puntos fijos de X.
Teorema 3.3. (T op(X), τ
ψ
) es un espacio T
0
.
Demostraci´on. Es claro que todo punto fijo es un punto peri´odico. Se ver´a que en (T op(X), τ
ψ
)
adem´as, todo punto peri´odico corresponde a un punto fijo. Si τ ∈ T op(X) y es Alexandroff,
entonces por el Teorema 3.2 se tiene que ψ(τ) = τ por lo que τ es un punto peri´odico. Por lo
tanto A(X) es un conjunto de puntos peri´odicos. Asumamos que existe un punto τ ∈ T op(X)
tal que m´ın{n ∈ N : ψ
n
(τ) = τ} ≥ 2, es decir, τ es un punto peri´odico no fijo. Es evidente
que, debido a que ψ(τ ) = ¯τ 6= τ entonces τ no es Alexandroff. Adem´as, por ser peri´odico, existe
τ
p
= ψ
−1
(τ) ∈ T op(X) por lo que τ es la imagen por ψ de una topolog´ıa, y por el Teorema
3.2 se tiene que τ es Alexandroff, una contradicci´on. De esta manera, no pueden existir puntos
peri´odicos no fijos.
El siguiente es un resultado mostrado por Echi en [5].
Lema 3.2. Sea (X, τ
f
) un espacio primal. Entonces las siguientes son equivalentes:
1. (X, τ
f
) es un espacio T
1
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 44–53
48 Viviana Benavides - Jorge Enrique Vielma
2. (X, τ
f
) es un espacio T
2
3. f = id
X
Teorema 3.4. (T op(X), τ
ψ
) es un espacio T
1
si y solo si X es finito.
Demostraci´on. Si asumimos que X no es finito entonces la topologia del complemento finito
ρ ∈ T op(X) es una topologia no Alexandroff T
1
. Por el Teorema 3.2 se tiene que ¯ρ es una
topolog´ıa Alexandroff tal que ker(¯ρ) = {¯ρ, ρ} con ρ 6= ¯ρ, por lo que ψ 6= id
T op(X)
y por el Lema
3.2 se tiene que (T op(X), τ
ψ
) no puede ser T
1
.
Por otro lado, si asumimos que X es finito, entonces toda toplogia τ definida en X es Ale-
xandroff. Por lo tanto Orb(τ ) = {τ } = ker(τ) y as´ı τ
ψ
es discreta por lo que T op(X) es T
1
.
Definici´on 3.4. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. Se denotar´a por τ
∗
a la cotopolog´ıa sobre X,
el conjunto formado por los subconjutos cerrados de (X, τ).
Definici´on 3.5. Un subconjunto A de un espacio topol´ogico (X, τ) es denso en X si para cada
x ∈ X, toda vecindad U de x intersecta a A.
Teorema 3.5. Sea X un conjunto no vac´ıo. El conjunto A(X) es denso en (T op(X), τ
∗
ψ
) pero
no es denso en (T op(X), τ
ψ
).
Demostraci´on. Se prueba que A(X) no es denso en (T op(X), τ
ψ
) mostrando que existe un ele-
mento de T op(X), y una vecindad abierta en τ
ψ
de tal punto, que no intersecta a A(X). Si τ no es
Alexandroff, entonces ker(τ) = {τ}, por lo que ker(τ)∩A(X) = ∅ y as´ı A(X) no es τ
ψ
denso. Por
otro lado, si τ no es Alexandroff, entonces Orb(τ ) = {τ, ¯τ } por lo que Orb(τ ) ∩ A(X) 6= ∅, y por
ser Orb(τ) el m´ınimo abierto de τ en τ
∗
ψ
se tiene que toda vecindad abierta de τ ∈ (T op(X), τ
∗
ψ
)
intersecta A(X), y as´ı A(X) es τ
∗
ψ
denso.
Ejemplo 3.3. Sea X un conjunto infinito. La topolog´ıa del complemento finito ρ ∈ T op(X) es
una topolog´ıa no Alexandroff, por lo que ρ es una topolog´ıa Alexandroff tal que ker(ρ) = {ρ, ρ}
con ρ 6= ρ. As´ı, ρ es un elemento de T op(X) con una vecindad abierta ker(ρ) = {ρ} que no
intersecta a A(X), por lo que A(X) no es denso en (T op(X), τ
ψ
).
Teorema 3.6. (T op(X), τ
ψ
) es compacto si y solo si X es finito
Demostraci´on. Si X es finito, Top(X) es finito y entonces compacto. Si (T op(X), τ
ψ
) es compacto
entonces A(X) = P er(T op(X)) es un conjunto finito y ademas para todo τ /∈ A(X) se cumple
que ¯τ es peri´odico y adem´as ¯τ ∈ A(X) y ker(τ) = {τ}. Por lo tanto T op(X) =
S
τ∈A(X)
ker(τ)
es un conjunto finito y entonces X es finito
Lema 3.3. A(X) es un conjunto cerrado de (Top(x), τ
ψ
).
Demostraci´on. Sea τ ∈ A(X), entonces Orb(τ) = {τ }. Por lo tanto, A(X) =
S
τ∈A(X)
{τ} y as´ı
A(X) es cerrado.
Definici´on 3.6. Un espacio topol´ogico se dice que es T
1
2
si cada conjunto unitario o es abierto
o es cerrado [11].
Teorema 3.7. (T op(X), τ
ψ
) es un espacio T
1
2
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 44–53
T op(X) y Spec(τ) como espacios primales 49
Demostraci´on. Sea τ ∈ T op(x). Si τ es Alexandroff, entonces por el Teorema 3.2, se tiene que
τ ⊆ 2
X
es cerrada y Orb(τ ) = {τ}. Si τ no es Alexandroff, entonces por los Teoremas 3.2 y 3.1,
se tiene que ker(τ ) = {τ } por lo tanto {τ} ∈ τ
ψ
.
Definici´on 3.7. Una propiedad se dice que es te´orica en el orden si por cada espacio topol´ogico
(X, τ) que satisface P tambi´en se cumple que (X, ¯τ) satisface P y viceversa (Un ejemplo est´a dado
en el Lema 3.4).
Teorema 3.8. Una propiedad P es te´orica en el orden si y solo si δ = {τ ∈ T op(X) : (X, τ)
satisface la propiedad P} es un subconjunto cerrado de (Top(X), τ
ψ
)
Demostraci´on. Sea τ ∈ δ y P una propiedad te´orica en el orden, entonces ψ(τ) = ¯τ ∈ δ. Por lo
tanto ψ(δ) ⊆ δ y δ es cerrado. Por otro lado, si δ es cerrado, entonces ψ(τ) = τ ∈ δ para todo
τ ∈ δ. Por lo tanto (X, τ ) satisface la propiedad P y P es te´orica en el orden.
El siguiente resultado es mostrado por Uzc´ategui y Vielma en [12]
Lema 3.4. Sea τ una topolog´ıa sobre X, entonces:
• τ es T
0
si y solo si ¯τ es T
0
• τ es T
1
si y solo si ¯τ es denso en 2
X
.
Definici´on 3.8. Un espacio topol´ogico (X, τ) se dice que satisface el axioma de separaci´on T
1/4
si {x} es cerrado o {x} =
T
A∈τ
A para todo x ∈ X [3].
Corolario 3.1. Los subconjuntos de T op(X): σ
0
, σ
1
, σ
1/4
, donde σ
i
= {τ ∈ T op(X) : (X, τ) es T
i
}
son cerrados en (T op(X), τ
ψ
).
Teorema 3.9. El conjunto σ
1
= {τ ∈ T op(x) : (X, τ) es T
1
} es un subconjunto conexo de
T op(X) y es la componente conexa de cada uno de sus puntos.
Demostraci´on. Sea τ ∈ σ
1
, entonces por el Teorema 3.2 y el Lema 3.4 se tiene que ¯τ es la topolog´ıa
discreta τ
d
. Por lo tanto, Orb(τ) = {τ, τ
d
} para todo τ ∈ σ
1
. Entonces ker(τ
d
) = σ
1
y por el
Lema 2.2, se tiene que σ
1
es conexo.
Teorema 3.10. El conjunto σ
1
= {τ ∈ T op(x) : (X, τ) es T
1
} es un subconjunto compacto de
(T op(X), τ
ψ
)
Demostraci´on. Sea β una colecci´on de subconjuntos abiertos de T op(X) que cubre σ
1
. Existe al
menos un A ∈ β tal que τ
d
∈ A. Entonces ker(τ
d
) ⊂ A pero ker(τ
d
) = σ
1
, con lo cual σ
1
⊂ A
y el conjunto formado ´unicamente por A es un subcubrimiento finito de β y por lo tanto σ
1
es
compacto.
La siguiente definici´on es dada por Barr´ıa et al. en [2].
Definici´on 3.9. Un semianillo es una estructura algebraica (R, +, ., 0, 1, ) donde R es un conjunto
con 0 y 1 elementos de R, y + y . son operaciones binarias internas sobre R llamadas suma y
multiplicaci´on respectivamente que satisfacen lo siguiente:
1. (R, +, 0) es un monoide conmutativo con elemento de identidad 0.
2. (R, ·, 1) es un monoide con elemento de identidad 1.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 44–53
50 Viviana Benavides - Jorge Enrique Vielma
3. La multiplicaci´on es distributiva respecto a la adici´on.
4. 0 es el elemento absorbente de la multiplicaci´on.
Teorema 3.11. Sea τ ∈ T op(x) y φ(τ ) = {A ∈ τ
ψ
: τ /∈ A}, entonces φ(τ ) es un ideal maximal
si y solo si τ es una topolog´ıa Alexandroff.
Demostraci´on. Asumamos que τ no es Alexandroff. Por el Teorema 3.2, se tiene que ker(τ) = {τ }.
Adem´as, puesto que τ ∈ ker(τ) y τ ∈ ker(¯τ ) se tiene que ker(τ) y ker(¯τ ) 6∈ φ(τ). Entonces
I = φ(τ) ∪ ker(τ) es un ideal propio de τ
ψ
que contiene propiamente a φ(τ ), y φ(τ) no puede ser
maximal.
Por otro lado, si φ(τ) no es maximal, entonces existe un ideal I de τ
ψ
tal que φ(τ) ⊂ I.
Entonces existe A ∈ I tal que A 6∈ φ(τ), y τ ∈ A. Como τ es Alexandroff, por el Teorema 3.2, se
tiene que cl(τ ) = {τ } por lo que Top(X) \ {τ} es un abierto que pertenece a φ(τ). Por lo tanto
(Top(X) \ {τ }) ∪ A = Top(X) ∈ I, y τ
ψ
= I. De aqu´ı que φ(τ) es un ideal maximal de τ
ψ
.
Los siguientes resultados son mostrados por Barria en [2].
Lema 3.5. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. Todo ideal finitamente generado de τ es un ideal
principal.
Lema 3.6. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. Si I es un ideal de τ , entonces I ⊂ h
S
{a : a ∈ I}i.
Se tiene entonces el siguiente resultado.
Teorema 3.12. Todo ideal maximal M de τ
ψ
tal que
S
{A : A ∈ M} 6= T op(X) es un ideal
principal.
Demostraci´on. Si
S
{A : A ∈ M } 6= T op(X), entonces h
S
{A : A ∈ M }i 6= τ
ψ
. Por el Lema 3.6,
se tiene que M ⊂ h
S
{A : A ∈ M }i y puesto que M es maximal, entonces se tiene M = h
S
{A :
A ∈ M }i.
4 Topolog´ıas primales en el espectro primo de un semiani-
llo
En esta secci´on se estudian algunas de las propiedades de una topolog´ıa primal definida para
Spec(R) con R un semianillo Gelfand. Se estudian adem´as la relaci´on de las propiedades de este
espacio con aquellas del espacio (Spec(R), τ
z
) con τ
z
la topolog´ıa Zariski. La siguiente definici´on
es mostrada en [2].
Definici´on 4.1. Sea R un semianillo con identidad no nula. Denotemos por Spec(R) al conjunto
de los ideales primos de R. Se define la topolog´ıa de Zariski τ
z
en Spec(R) como aquella cuyos
cerrados son de la forma:
(I)
z
= {P ∈ Spec(R) : I ⊆ P, I es un ideal de R}
En [2] se muestran los cuatro siguientes resultados.
Lema 4.1. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico, entonces para todo x ∈ X se tiene:
1. ker
¯τ
(x) es el menor ¯τ -abierto que contiene a x.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 44–53
T op(X) y Spec(τ) como espacios primales 51
2. cl
τ
({x}) = cl
¯τ
({x})
3. ker
τ
(x) = ker
¯τ
(x)
Corolario 4.1. Consid´erese los espacios (Spec(R), τ
z
) y (Spec(R), τ
z
), y P ∈ Spec(R), entonces:
1. (P )
z
= cl
τ
z
({P }) = cl
τ
z
({P })
2. ker
τ
z
({P }) = ker
τ
z
({P })
Lema 4.2. Considere el espacio (Spec(R), τ
z
). Si M ∈ Max(R), entonces P ∈ ker
τ
z
(M) si y
solo si P ⊆ M.
Definici´on 4.2. Sea R un semianillo con identidad no nula y Spec(R) el conjunto de los ideales
primos de R. Se dice que R es Gelfand si cada ideal primo est´a contenido en un ´unico ideal
maximal. Se dice semilocal si tiene una cantidad finita de ideales maximales y se dice local si
tiene un solo ideal maximal.
Teorema 4.1. Un semianillo R es Gelfand si y solo si para todo M ∈ M ax(R), ker(M ) es τ
z
clopen.
Demostraci´on. Sean P ∈ ker(M) y Q ∈ (P )
z
. Por el Lema 4.2, se tiene P ⊆ M. Como P ⊆ Q
y R es un semianillo Gelfand, si M
Q
es el ´unico ideal maximal que contiene a Q, entonces
M
Q
= M . Puesto que Q ⊆ M , por el Lema 4.2, Q ∈ ker(M ). Luego, (P )
z
⊆ ker(M) y as´ı
S
{(P )
z
: P ∈ ker(M)} = ker(M ). Por el Corolario 4.1, ker(M) es τ
z
cerrado.
Por otro lado, sean P un ideal primo y M
1
, M
2
ideales maximales que contienen a P. Por
el Lema 4.2, P ∈ ker(M
1
) y P ∈ ker(M
2
). Por el Corolario 4.1 e hip´otesis, (P )
z
= cl
τ
z
(P ) ⊆
ker(M
2
). Adem´as, como M
1
∈ (P )
z
, por el Lema 4.2, M
1
∈ ker(M
2
), por lo que M
1
= M
2
. Por
lo tanto, R es un semianillo Gelfand.
Consideremos a R como un semianillo Gelfand y φ : Spec(R) → Spec(R) definida como
φ(P ) = M
p
donde M
p
es el ´unico ideal maximal que contiene a P . Esta funci´on induce una topolog´ıa primal
τ
φ
en Spec(R).
Lema 4.3. Sea Max(R) el conjunto de los ideales maximales de R, entonces {ker(M) : M ∈
Max(R)} es un cubrimiento de τ
z
abierto de Spec(R).
Demostraci´on. Por el Lema 4.1, se tiene que ker(M ) es τ
z
abierto para todo M ∈ Max(R). Sea
P ∈ Spec(R), por ser R un semianillo Gelfand, entonces existe un ´unico ideal maximal M que
contiene a P, adem´as P ∈ ker(M). Es claro entonces que la colecci´on {ker(M) : M ∈ M ax(R)}
es un cubrimiento de τ
z
abierto de Spec(R).
Teorema 4.2. Sea R un semianillo Gelfand no vac´ıo, entonces los siguientes son equivalentes:
1. (Spec(R), τ
φ
) es compacto
2. R es semilocal
3. (Spec(R), ¯τ
z
) compacto
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 44–53
52 Viviana Benavides - Jorge Enrique Vielma
Demostraci´on. (1 → 2) Sea {M
α
} una colecci´on de ideales maximales de R. Por ser R un semi-
anillo Gelfand, entonces cada ideal primo P de R est´a contenido en alg´un M
α
y as´ı Spec(R) =
S
M
α
∈Spec(R)
ker(M
α
). Si (Spec(R), τ
φ
) es compacto, entonces existe una subcolecci´on finita
{M
n
} tal que Spec(R) =
S
M
n
∈Spec(R)
ker(M
n
). Es claro entonces que R contiene una canti-
dad finita de ideales maximales y as´ı es semilocal.
(2 → 1) Sea {A
α
} una colecci´on de abiertos de (Spec(R), τ
φ
) tales que Spec(R) =
S
A
α
∈Spec(R)
A
α
.
Dado que cada abierto A
α
puede ser escrito como A
α
=
S
M
i
∈A
α
ker(M
i
) con M
i
los ideales
maximales de R en A
α
entonces Spec(R) =
S
M
j
∈Spec(R)
ker(M
j
). Dado que R es semilocal,
entonces existe una colecci´on finita {M
n
} de ideales maximales de R y entonces Spec(R) =
S
M
n
∈Spec(R)
ker(M
n
), donde M
n
∈ A
α
n
y as´ı (Spec(R), τ
φ
) es compacto.
(2 → 3) Si R es semilocal, entonces R tiene una cantidad finita de ideales maximales M
i
con i = 1, 2, . . . , n. Sea {U
α
: α ∈ J} un cubrimiento de τ
z
abiertos de Spec(R). Para todo
M
i
∈ Spec(R) existe α
i
tal que M
i
∈ U
α
i
, y de aqu´ı ker(M
i
) ⊆ U
α
i
. Por el Lema 4.3 se tiene que
{ker(M
i
) : i = 1, 2, . . . , n} es un cubrimiento finito de Spec(R) y as´ı (Spec(R), ¯τ
z
) es compacto.
(3 → 2) De la demostraci´on de la implicaci´on anterior y del Lema 4.3 se deduce f´acilmente.
Teorema 4.3. Sea R un semianillo Gelfand no vac´ıo, entonces los siguientes son equivalentes:
1. (Spec(R), τ
φ
) es conexo
2. R es local
3. (Spec(R), ¯τ
z
) conexo
Demostraci´on. (1 → 2) Si R no es local, entonces existen al menos dos ideales maximales M
1
, M
2
de R. Dado que R es un semianillo Gelfand entonces ker(M
1
) ∩ ker(M
2
) = ∅ y ker(M
1
) ∪
ker(M
2
) = Spec(R) y as´ı (Spec(R), τ
φ
) no es conexo.
(2 → 1) Si R es local, entonces existe un ´unico ideal maximal M de R y para todo ideal primo
P de R se tiene φ(P ) = M y as´ı (Spec(R), τ
φ
) es conexo.
(2 → 3) Sean U un ¯τ
z
clopen, M el ´unico ideal maximal de R y P ∈ Spec(R). Si P ∈ U,
entonces por el Corolario 4.1 se tiene que (P )
z
= cl
τ
z
(P ) ⊆ U. Por tanto, M ∈ U, por lo que
ker(M) ⊆ U . Por el Lema 4.3 se tiene que ker(M ) = Spec(R), por lo que U = Spec(R).
(3 → 2) Sea M un ideal maximal de R. Por el Teorema 4.1 se tiene que ker(M) es τ
z
clopen,
y dado que ker(M ) 6= ∅ se sigue que Spec(R) = ker(M). Adem´as, si M
0
es un ideal maximal de
R, entonces M
0
∈ ker(M ) y por el Lema 4.2 se tiene M
0
⊆ M, y de aqu´ı que M es el ´unico ideal
maximal de R.
Teorema 4.4. Sea R un semianillo Gelfand no vac´ıo y P ∈ Spec(R), entonces los siguientes
son equivalentes:
1. {P } es τ
z
cerrado
2. {P } es τ
φ
cerrado
3. P es un ideal maximal
Demostraci´on. (1 → 2) Si {P } es τ
z
cerrado, entonces P es el ´unico ideal primo que contiene a I,
un ideal de R. Adem´as, si φ(P ) 6= P entonces existe un idelal M ∈ Spec(R) tal que M ∈ Orb(P )
y P ( M. De esta manera I ⊂ P ( M , una contradicci´on.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 44–53
T op(X) y Spec(τ) como espacios primales 53
(2 → 3) Si {P } es τ
φ
cerrado, entonces φ(P ) = P y por la definici´on de la funci´on φ se tiene
que P es maximal.
(3 → 1) Como P es maximal, entonces el ´unico ideal primo de R que contiene a P es s´ı mismo.
De esta manera {P } es τ
z
cerrado.
Teorema 4.5. Max(R) es un subconjunto cerrado y adem´as es τ
∗
φ
denso
Demostraci´on. Del Teorema 4.4, se tiene que si P es maximal entonces {P } es τ
φ
cerrado, es
decir φ(P ) = P . Por lo tanto φ(Max(R)) = Max(R) y as´ı Max(R) es τ
φ
cerrado. Adem´as, si
P ∈ Spec(R) tal que P /∈ M ax(R) se tiene que φ(P ) = M
P
∈ M ax(R) con M
P
el ´unico ideal
maximal que contiene a P. Por lo tanto Orb(P ) ∩ M ax(R) 6= ∅ y as´ı Max(R) es τ
∗
φ
denso.
Agradecimientos
Se agradece al Mag´ıster Carlos Garc´ıa Mendoza por la gu´ıa brindada en la preparaci´on y edici´on
del art´ıculo.
Referencias
[1] Alexandroff, P. Diskrete Raume, Recueil Math´ematique, 2(24) (1937), 501 - 5019.
[2] Barr´ıa, S. Propiedades de las topolog´ıas vistas como semianillos, Tesis de Maestr´ıa, Univer-
sidad de Concepci´on, 2016.
[3] Colasante, M., Uzc´ategui, C., and Vielma, J. Low separation axioms via the diagonal, Applied
General Topology, 9(1) (2008), 39 - 50.
[4] Croom, F. Principles of Topology, Dover Publications, 2016.
[5] Echi, O. The categories of flows of Set and Top, Topology and its Applications, 159(9)
(2012), 2357 - 2366.
[6] Herman, G. On topology as applied to image analysis, Computer Vision, Graphics, and Image
Processing, 52(3) (1990), 409-415.
[7] Johnstone, S. Stone Spaces, Cambridge University Press, 1982.
[8] McCord, M. Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces, Duke
Mathematical Journal, 33(3) (1966), 465-474.
[9] Munkres, J. Topology, Prentice Hall, 2000.
[10] Shirazi, F. and Golestani, N. Functional Alexandroff Spaces, Hacettepe Journal of Mathe-
matics and Statistics, 40(4) (2011), 515 - 522.
[11] Subha, E. and Nagaveni, N. Strong separation axioms of T
1/2
-spaces, International Journal
of Mathematical Analysis, 8(33) (2014), 1723-1732.
[12] Uzc´ategui, C. and Vielma, J. Alexandroff topologies viewed as closed sets in the Cantor cube,
Divulgaciones Matem´aticas, 13(1) (2005), 45 - 53.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 44–53
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 54–63
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.11540082
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
Grafo divisor de cero de Z
2
r
q
s
Zero divisor graph of Z
2
r
q
s
Juan M. Otero Acosta (jmotero746@gmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0009-0009-8245-9803
Departamento de Inform´atica
Universidad Clodosbaldo Russi´an
Cuman´a, Rep´ublica Bolivariana de Venezuela.
Daniel Brito (danieljosb@gmail.com)
Departamento de Matem´atica
Universidad de Oriente
Cuman´a, Rep´ublica Bolivariana de Venezuela.
Tob´ıas Rosas Soto (tjrosas@gmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8085-5011
Departamento de Matem´atica
Facultad Experimental de Ciencias
Universidad del Zulia
Maracaibo, Estado Zulia
Rep´ublica Bolivariana de Venezuela.
Resumen
Este art´ıculo se continua el estudio de los grafos divisores de cero, presentado en 1988
por Istan Beck [2]. All´ı se define un grafo divisor de cero como un grafo cuyos v´ertices son
los elementos del conjunto de divisores de cero de un anillo, donde dos v´ertices distintos x
e y son adayacentes si y solo si x · y = 0. En este trabajo, se presenta una nueva forma
de calcular el grafo divisor de cero del anillo Z
2
r
q
s
para q primo impar, con r y s enteros
positivos mayores que 2, adem´as se da el ejemplo del grafo divisor de cero del anillo Z
36
.
Palabras y frases clave: Anillos, conjunto divisor de cero, grafo divisor de cero.
Abstract
This article continues the study of zero divisor graphs, presented in 1988 by Istan Beck
[2]. There, a zero divisor graph is defined as a graph whose vertices are the elements of the
set of zero divisors of a ring, where two distinct vertices x and y are adjacent if and only if
x · y = 0. In this work, we present a new way to calculate the zero divisor graph of the ring
Z
2
r
q
s
for q an odd prime, with r and s positive integers greater than 2, and the example of
the zero divisor graph of the ring Z
36
is also given.
Key words and phrases: Rings, zero divisor set, zero dividers graph.
Recibido 15/02/2023. Revisado 21/04/2023. Aceptado 15/04/2024.
MSC (2010): Primary 05C85; Secondary 13M05.
Autor de correspondencia: Juan Otero Acosta
Grafo divisor de cero de Z
2
r
q
s
55
1 Introducci´on
Harary en 1972, define a un grafo G como un par ordenado G = (V, E) donde: V es un conjunto
v´ertices o nodos; y E es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan a estos nodos. Los grafos
permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto. Adem´as, si R es un
anillo conmutativo con identidad, entonces Ω(R) representa el conjunto de los divisores de cero
de R. El estudio de los llamados grafos divisores de cero, originados por Beck [2], en su art´ıculo
“Coloring of conmutative ring”, es cada d´ıa m´as necesario por su articulaci´on con otras ramas
de la investigaci´on matem´atica. En 1988, Beck define los grafos divisores de cero de la siguiente
manera: asociando un grafo simple a un anillo conmutativo R, donde los v´ertices son los elementos
del anillo y la adyacencia (aristas) entre los v´ertices se obtiene a trav´es de los divisores de cero,
es decir, dos v´ertices distintos x e y son adyacencia si y solo si x · y = 0.
El objetivo en el art´ıculo de Beck, era estudiar la coloraci´on de los anillos conmutativos, con
la idea de establecer una relaci´on entre la teor´ıa de grafo y la teor´ıa de anillos conmutativo. En
1999, Andersen y Livistong [1], publican el art´ıculo “The zero divisor graph of a conmutative
ring” y es en ´este donde se estudian las propiedades y estructuras de los grafos divisores de cero,
los cuales tambi´en se estudian en el presente trabajo, y se denotan por Γ(R), donde R es un anillo
conmutativo.
En [7] se dan algunas representaciones y caracterizaciones de los grafos divisores de cero,
para los anillos conmutativos de la forma Z
p
n
q
. En [3], se introduce la definici´on de conjuntos r-
partitos, definici´on clave para la representaci´on de los grafos divisores de cero. As´ı como tambi´en
algunas caracterizaciones, el di´ametro y el n´umero de clique para estos grafos.
Los aportes de este trabajo son:
i.- Trabajar con las estructuras algebraicas de los anillos conmutativos de la forma Z
2
r
q
s
, para
q primos distintos, r y s entero positivos mayores que 2.
ii.- Estudiar las representaciones de los grafos divisores de cero sobre Z
2
r
q
s
, que se obtendr´an
para cada caso, as´ı como su caracterizaciones, el di´ametro, n´umero de clique.
iii.- Dar un m´etodo para la elaboraci´on de un algoritmo donde se puedan representar estos
grafos para las estructuras algebraicas antes mencionadas.
2 Conjuntos divisores de cero
En esta secci´on se presentan un resumen de definiciones y resultados relacionados con los con-
juntos divisores de cero.
Definici´on 2.1 (Divisor de cero). Sea R un anillo, un elemento x ∈ R, se llama divisor de cero,
si existe y ∈ R, distinto de cero, tal que x · y = 0.
Nota 2.1. Se trabajar´a muy a menudo con el anillo conmutativo Z
n
= {0, 1, 2, · · · , n − 1}, el cual
no es m´as que el conjunto de las clases m´odulo n. En lo que contin´ua de escritura, se suprimir´a
las barras para denotar al mismo anillo Z
n
, en caso contrario se informar´a.
Definici´on 2.2 (Conjunto divisor de cero). Dado un anillo R, el conjunto divisor de cero de R,
denotado por Ω(R), es el conjunto para el cual, cada vez que se elija un elemento x ∈ Ω(R), no
nulo, existe otro elemento no nulo y ∈ Ω(R), tal que x · y = 0.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 54–63
56 Juan Otero - Daniel Brito - Tob´ıas Rosas
Ejemplo 2.1. Sea el anillo conmutativo siguiente Z
36
= Z
2
2
3
2
= {0, 1, 2, 3, · · · , 35}. Su conjunto
divisor de cero es:
Ω(Z
36
) = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34}.
Nota 2.2. Otra manera de ver Ω(Z
36
), son los elementos no primos relativos con 36.
Otros anillos a los cuales tambi´en se les calcula su conjunto divisor de cero son los siguientes:
Ejemplo 2.2. Sea el anillo conmutativo Z
2
×Z
2
= {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}. Su conjunto divisor
de cero es:: Ω(Z
2
× Z
2
) = {(1, 0), (0, 1)}. Puesto que:
(1, 0) × (0, 1) = (0, 0) ∈ Z
2
× Z
2
(1, 0) × (1, 1) = (1, 0) ∈ Z
2
× Z
2
(0, 1) × (1, 1) = (0, 1) ∈ Z
2
× Z
2
Ejemplo 2.3. Sea el anillo
R =
Z
3
[x]
x
2
= {0, 1, 2, x, x + 1, x + 2, 2x, 2x + 1, 2x + 2}.
Su conjunto divisor de cero es: Ω(
Z
3
[x]
x
2
) = {x, 2x}. Puesto que:
x · 2x = 2x
2
= 2 · 0 = 0
n Descomposici´on p
r
q
s
|Ω(Z
n
)|
36 2
2
3
2
23
72 2
3
3
2
47
100 2
2
5
2
59
108 2
2
3
3
71
144 2
4
3
2
95
196 2
2
7
2
111
200 2
3
5
2
119
300 2
2
5
3
219
392 2
3
7
2
223
Cuadro 1: Tabla con la cardinalidad algunos Ω(Z
2
r
q
s
)
Los siguientes son resultados relacionados con los conjuntos divisores de cero. En [6], aparecen
los siguientes corolarios
Corolario 2.1. El anillo Z
p
no tiene divisores de cero si y solo si p es primo.
Corolario 2.2. Un anillo no tiene divisores de cero si y solo si se cumple la ley cancelativa del
producto para todo elemento no nulo del anillo.
Seguidamente en [4], se presenta el siguiente resultado:
Proposici´on 2.1. Sea R un anillo conmutativo finito, entonces cada elemento de R es invertible
o divisor de cero.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 54–63
Grafo divisor de cero de Z
2
r
q
s
57
Demostraci´on. Sea a ∈ R. Si a ∈ Ω(R), esto significa que a es un divisor de cero. Por otro lado, si
a no pertenece a Ω(R), entonces a 6= 0 y para todo b ∈ R − {0}, se tiene que a · b 6= 0. Como R es
finito, sup´ongase que R tiene n elementos y h´agase R = {0, a
2
, a
3
, · · · , a
n
}. Luego, multilplicando
cada elemento de R por a se obtiene a · 0 = 0 y a · a
i
6= 0, para 2 ≤ i ≤ n. Si i 6= j, a · a
i
6= a · a
j
,
pues en caso contrario a(a
i
− a
j
) = 0, lo que dir´ıa que a ∈ Ω(R) lo que es una contradicci´on.
Como R es un anillo conmutativo, entonces 1 ∈ R y por ser R finito debe existir a
k
∈ R, con
2 ≤ k ≤ n, tal que a · a
k
= 1 de manera que a es invertible.
El siguiente teorema dado en [4], es fundamental para futuras investigaciones conectadas por
los grafos divisores de cero y anillos de polinomios.
Teorema 2.1 (Teorema de McCoy). Sea R un anillo. Un polinomio f ∈ R[x] es un divisor de
cero si y solo si, existe r ∈ R tal que r · f = 0.
3 Grafo divisor de cero
En esta secci´on, se presenta una definici´on de grafo divisor de cero entre las muchas que exis-
ten, y algunos resultados relacionados con los mismos. En este apartado los anillos de trabajo
se consideran conmutativos y con identidad. A continuaci´on se presentan las definiciones m´as
elementales que sustentan el trabajo.
Definici´on 3.1. Un grafo es un par de conjuntos G = (V, E), donde V es un conjunto no vac´ıo de
elementos llamados v´ertices, nodos o puntos y E es un conjunto formado por pares, no ordenados,
de elementos de V llamados lados, aristas o l´ıneas.A los conjuntos V y E tambi´en se les suele
denotar por V (G) y E(G), respectivamente.
La siguiente definici´on de conjunto r-partitos es bueno conocerla puesto que es crucial en la
construcci´on de los grafos divisores de cero, aqu´ı propuestos.
Definici´on 3.2. Un grafo G = (V, E) se dice k-partito si sus v´ertices est´an o pueden ser particio-
nados en k diferentes conjuntos independientes. Lo que se traduce diciendo que: existen conjuntos
W
1
, W
2
, · · · , W
r
, tales que cumplen las siguientes condiciones:
1. W
i
6= ∅, ∀ i = 1, 2, . . . , r.
2. W
i
∩ W
j
= ∅ ∀ i, j = 1, 2, . . . , r, con i 6= j.
3.
r
[
i=1
W
i
= V
4. Si v, w ∈ W
i
entonces (v, w) /∈ E, para todo i = 1, . . . , r.
Definici´on 3.3. Sea R un anillo conmutativo, el grafo divisor de cero de R, el cual se denotar´a
por Γ(R), se define por:
Γ(R) = (V (Γ(R)), E(Γ(R )))
donde V (Γ(R)): es el conjunto formado por los elementos del conjunto divisor de cero de R, es
decir,
Ω(R) = V (Γ(R))
y
E(Γ(R)) = {(x, y) : x, y ∈ V (Γ(R)), x · y = 0, x 6= y}
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 54–63
58 Juan Otero - Daniel Brito - Tob´ıas Rosas
4 Clique, di´ametro y girth de Γ(Z
n
)
A los grafos divisores de cero tambi´en se le asocian el clique, di´ametro y girth, como se ver´a a
continuaci´on.
Definici´on 4.1. Un grafo simple G = (V, E) es completo, si cada uno de los v´ertices es adyacente
a los restantes v´ertices del grafo G, el grafo completo de orden n es denotado por K
n
.
Definici´on 4.2. Todo subgrafo K
r
de Γ(Z
n
) es llamado un clique de orden r.
Definici´on 4.3. El n´umero de clique de Γ(Z
n
), denotado por ω(Γ(Z
n
)), es el mayor entero r ≥ 1,
tal que K
r
⊂ Γ(Z
n
)
Definici´on 4.4. La distancia entre un par de v´ertices de un grafo G, es la longitud del camino
m´as corto entre ellos. Si no existe tal camino se dice que la distancia es infinita.
Definici´on 4.5. El di´ametro del Γ(Z
n
), es la mayor distancia entre cualquiera dos v´ertices
distintos. Tal distancia se denotar´a por ∆(Γ(Z
n
))
Un resultado importante que aparece en [2], en el c´alculo del di´ametro en Γ(Z
p
r
q
s
) es el
siguiente:
Teorema 4.1. Si p y q son primos distintos, r y s enteros positivos mayores que 2 . Entonces
∆(Γ(Z
p
r
q
s
)) = 3
Definici´on 4.6. Un ciclo de Γ(Z
n
), es un camino cerrado en el cual no se repite ning´un v´ertice,
salvo el v´ertice inicial. Un c´ıclo de orden n de Γ(Z
n
) se denotar´a por C
n
, donde n es el n´umero
de v´ertices.
Definici´on 4.7. El girth de Γ(Z
n
), es la longitud del ciclo m´as corto. El girth de Γ(Z
n
), se
denotar´a por Φ(Γ(Z
n
))
Ejemplo 4.1. Sea el grafo divisor de cero del anillo Z
36
, esto es Γ(Z
36
), entonces ω(Γ(Z
36
)) = 5
como se puede ver en el subgrafo de Γ(Z
36
), coloreado de azul en la Figura 1. De igual forma
∆(Γ(Z
36
)) = 3 como se puede ver, como ejemplo, el subgrafo coloreado de rojo de Γ(Z
36
), en la
Figura 1. Por ´ultimo, Φ(Γ(Z
36
)) = 3 como se puede observar en el subgrafo K
3
de Γ(Z
36
) con
dos aristas coloreadas de verde y una de azul en la Figura 1.
Ejemplo 4.2. Para el grafo Γ(Z
72
) = Γ(Z
2
3
3
2
). Este caso todos los subgrafos completos no-
isomorfos para Γ(= Z
2
3
3
2
) son K
2
y K
3
. Por lo tanto ω(Γ(= Z
72
)) = 3
5 M´etodo de Representaci´on
En esta secci´on se da un nuevo m´etodo para representar los Γ(Z
2
r
q
s
), basado en la eor´ıa de
anillos, conjunto divisor de cero y conjuntos r-partitos. Es oportuno resaltar, que ya existen una
gran cantidad de m´etodos en este estilo, por ejemplo en [8], se presenta un m´etodo que articula la
teor´ıa de ´orbitas con las constantes baric´entricas y en [5], se da un m´etodo matricial que relaciona
a las constantes baric´entricas y la teor´ıa de matrices, este ´ultimo m´etodo se implement´o en el
lenguaje de computaci´on conocido como MatLab.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 54–63
Grafo divisor de cero de Z
2
r
q
s
59
M´etodo:
Sup´ongase que se quiere representar el grafo divisor de cero del anillo Z
n
o equivalentemente
Γ(Z
n
). Si n es primo entonces n no tiene divisores de cero y por lo tanto no existe su grafo divisor
de cero, esto fundamentado en el Corolario 2.1. Sup´ongase que n se puede descomponer en factores
primos en la forma 2
r
q
s
, donde q es un primo impar, r y s son enteros positivos mayores que 2.
Luego, se busca el conjunto divisor de cero del anillo, esto es, Ω(Z
2
r
q
s
). Seguidamente se busca
los siguientes conjuntos a partir de Ω(Z
2
r
q
s
):
1. A = {2k : 2k < n, con 1 ≤ k ≤
n−2
2
}.
2. B = {kq : kq < n, con k impar}.
3. C = {x ∈ A : n | x2q}. Aqu´ı n | x2q significa que n divide al producto x2q.
4. D = {x ∈ C : n | xz, para todo z ∈ A}.
N´otese que el conjunto D tiene un solo elemento dado que si x ∈ D este elemento debe cumplir
que n | xz, para todo z ∈ A en particular para los elementos 2 y 2q que est´an en A, de manera
que x debe ser de la forma 2
r−1
q
s
. Luego, con los conjuntos dados se realizan las siguientes
particiones:
V
1
= A − C, V
2
= B ∪ D, V
3
= C − D.
N´otese que si v, w ∈ V
1
, es decir, v, w ∈ A y v, w /∈ C. Por tanto, se tiene que n no divide al
producto vw pues de ser as´ı entonces v ∈ C o w ∈ C lo cual es una contradicci´on. As´ı el conjunto
V
1
es un conjunto indepediente. Por otro lado, si v, w ∈ V
2
entonces se pueden tener las siguientes
posibilidades:
1. v, w ∈ B.
2. v ∈ B y w ∈ D, o viceversa, ya que D contiene un solo elemento.
En el supuesto que v, w ∈ B se tiene que n no divide al producto vw pues ni v ni w no tiene
ning´un factor de la forma 2
k
para ning´un valor de k = 1, . . . , r. De manera que en este caso no
hay una arista entre esos vertices de V . Sup´ongase ahora, sin p´erdida de generalidad, que v ∈ B y
w ∈ D. De manera que v no tiene ningu´un factor de la forma 2
k
para ning´un valor de k = 1, . . . , r
y como w ser´ıa 2
r−1
q
s
, entonces n no divide al producto vw. Teniendo con esto que no existen
aristas entre puntos de V
2
y por tanto el conjunto es independiente.
N´otese que si x ∈ V
3
entonces x contiene los factores 2
r−1
y q
s−1
para poder obtener que n
divida al producto x2q. As´ı, entre todos y cada uno, de los elementos del conjunto V
3
se tienen
aristas entre ellos. De manera que por cada elemento presente en V
3
se debe formar un conjunto
con un solo elemento, cada uno de los cuales sser´a independiente.
Por ´ultimo obs´ervese que el conjunto de conjuntos independientes, o el n´umero de partici´on,
es |V
3
| m´as los dos conjuntos V
1
y V
2
, es decir, nuestro grafo Γ(Z
2
r
q
s
) es (|V
3
| + 2)-partito.
6 Ejemplo de aplicaci´on del m´etodo
Ejemplo 6.1. Representar del grafo divisor de cero del anillo Z
36
.
Paso 1: Se chequea si n = 36 es primo, si es cierto Γ(Z
n
) no existe. Sino continuar con el
siguiente paso.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 54–63
60 Juan Otero - Daniel Brito - Tob´ıas Rosas
Paso 2: Se descompone Z
n
= Z
36
en la forma Z
2
r
q
s
, esto es, Z
36
= Z
2
2
3
2
Paso 3: En este paso se procede a calcular el conjunto divisor de cero del anillo esto es,
Ω(Z
36
) = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34}
Paso 4: Aqu´ı se calculan los conjuntos A, B, C y D, tal cual se definieron en el m´etodo, para
buscar una partici´on de Ω(Z
36
), esto es:
1. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34}.
2. B = {3, 9, 15, 21, 27, 33}.
3. C = {12, 18, 24, 30}
4. D = {18}.
Paso 5: Construcci´on de la partci´on de representaci´on de Ω(Z
36
).
1. V
1
= A − C = {2, 4, 6, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 34}.
2. V
2
= B ∪ D = {3, 9, 18, 15, 21, 27, 33}.
3. V
3
= C − D = {12, 24, 30}
Paso 6: Resultado de Γ(Z
2
2
3
2
). Finalmente, como |V
3
| + 2= 3 + 2 = 5. Entonces Γ(Z
2
2
3
2
) es
5-partito.
Paso 7: Representci´on de Γ(Z
2
2
3
2
)
N´otese que Ω(Z
36
) es 5-partito cuyos conjuntos estar´ıan dados por:
W
1
= {24} W
2
= {30} W
3
= {3, 9, 15, 18, 21, 27, 33} W
4
= {12}
W
5
= {2, 4, 6, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 30, 34}
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 54–63
Grafo divisor de cero de Z
2
r
q
s
61
34
32
28
26
22
20
16
14
10
8
6
4
2
33
27
21
18
15
9
3
24 30
12
Figura 1: Ω(Z
36
), grafo divisor de cero del anillo Z
36
.
7 Algoritmo principal del m´etodo para Γ(Z
2
r
q
s
)
.
Entrada: n entero positivo mayor que 2.
Salida: Representaci´on de Γ(Z
n
).
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 54–63
62 Juan Otero - Daniel Brito - Tob´ıas Rosas
Paso 1 Se chequea si n es primo, en cuyo caso Z
n
no tiene divisores de cero. Por lo tanto, no
se tiene representaci´on de Γ(Z
n
). En caso contrario.
Paso 2 Determinar la descomposici´on en factores primos de n, esto se traduce en escribir
n = 2
r
q
r
, donde p, q son n´umeros primos distintos y r, s enteros positivos mayor o igual a 2.
Paso 3 Obtener el conjunto divisor de cero Z
n
.
Paso 4 Calcular los Conjuntos A, B, C y D, definidos como sigue:
1. A = {2k : 2k < n, con 1 ≤ k ≤
n−2
2
}.
2. B = {kq : kq < n, con k impar}.
3. C = {x ∈ A : n | x2q}. Aqu´ı n | x2q significa que n divide al producto x2q.
4. D = {x ∈ C : n | xz, para todo z ∈ A}.
Paso 5 Con los conjuntos obtenidos en el paso 4, se contruye la partici´on:
1. V
1
= A − C.
2. V
2
= B ∪ D.
3. V
3
= C − D.
Paso 6 Con la expresi´on |V
3
| + 2, se conoce el n´umero de conjuntos r partitos que tendr´a el
grafo buscado.
Paso 7 Salida Γ(Z
n
).
Paso 8 Fin.
A continuaci´on tabla con algunos valores de grafos r partitos.
n Descomposici´on p
r
q
s
Γ(Z
n
)
36 2
2
3
2
5-partito
72 2
3
3
2
7-partito
100 2
2
5
2
9-partito
108 2
2
3
3
6-partito
144 2
4
3
2
11-partito
Cuadro 2: Tabla con algunas clases de Γ(Z
n
)
Referencias
[1] Andersen, D. and Livinston, P. The zero divisor graph of a conmutative ring, J. Algebra,
217 (1999), 434-447.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 54–63
Grafo divisor de cero de Z
2
r
q
s
63
[2] Beck, I. Coloring of Conmutative rings, J. Algebra, 116 (1988), 288-226.
[3] Chartrand, G. and Lesniak, L. Graphs and Digraphs, Wadsworth and Brooks. 3era ed, Ca-
lifornia (1986).
[4] Fanelli, C. Grafo Divisor de Zero de un Anillo Conmutativo, Tesis de Maestr´ıa, Universidad
de Maringa, Brazil, (2011).
[5] Otero, J.Un m´etodo matricial para el c´alculo de las constantes de Davenport y Olson k-
baric´entricas. Tesis de Maestr´ıa. Universidad de Oriente. Venezuela. 2011.
[6] Rojo, A.
´
Algebra I., Buenos Aires, Argentina, 1983.
[7] Shuker, N.; Mohammad, H. and Ali, A. The Zero Divisor Graph of Z
p
n
q
, International
Journal of Algebra, 6 (2012), 1049-1055.
[8] Villarroel, F. La constante de Olson k-baric´entrica y un teorema inverso de Erds-Ginzburg-
Ziv. Tesis Doctoral. Universidad Central de Venezuela. 2008.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 54–63
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.11540294
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
Un m´etodo nuevo para eliminar la
indeterminaci´on en los problemas singularmente
perturbados con resonancia de
Ackerberg y O’Malley
A new method for eliminating the indeterminacy in the singularly perturbed
problems with Ackerberg-O’Malley resonance
Jacques Laforgue (laforgue007@gmail.com)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8823-9694
Departamento de Matem´aticas, N´ucleo de Sucre
Universidad de Oriente
Cuman´a, Estado Sucre, Venezuela
Resumen
En los problemas singularmente perturbados con car´acter resonante en el sentido de Ac-
kerberg y O’Malley, el m´etodo tradicional de las expansiones asint´oticas empatadas fracasa
para determinar la amplitud de la resonancia. Se presenta un m´etodo nuevo, basado en pro-
cedimientos establecidos de la teor´ıa de ecuaciones diferenciales ordinarias, para eliminar tal
indeterminaci´on aprovechando el resultado incompleto de las expansiones asint´oticas empa-
tadas y eliminando de manera natural el grado de libertad superfluo, mediante la derivaci´on
e imposici´on de una condici´on de frontera exacta adicional que relaciona las pendientes en
los dos extremos del dominio. El m´etodo nuevo es efectivo para la variedad de problemas
reconocidos como resonantes, incluyendo los que exhiben supersensibilidad, y tambi´en para
los de estructura diferente pero con indeterminaci´on an´aloga, por ejemplo involucrando una
ecuaci´on en derivadas parciales.
Palabras y frases clave: Perturbaciones singulares, Resonancia de capas de frontera,
Expansiones asint´oticas empatadas.
Abstract
In the singularly perturbed problems with resonant character in the sense of Ackerberg
and O’Malley, the traditional method of matched asymptotic expansions fails to determine
the resonance’s amplitude. A new method is presented, based on established procedures
from the theory of ordinary differential equations, for eliminating such indeterminacy taking
advantage of the incomplete result of the matched asymptotic expansions and eliminating in
a natural fashion the superfluous degree of freedom, through the derivation and imposition
of an additional exact boundary condition that relates the slopes at both extremities of the
domain. The new method is effective for the variety of problems recognized as resonant, in-
cluding those exhibiting supersensitivity and also for those of a different structure but with
Recibido 20/11/2022. Revisado 12/03/2023. Aceptado 17/09/2023.
MSC (2020): Primary 34E15; Secondary 34A05.
Autor de correspondencia: Jacques Laforgue
Indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley 65
analogous indeterminacy, for example involving a partial differential equation.
Key words and phrases: Singular perturbations, Boundary layer resonance, Matched
asymptotic expansions.
1 Introducci´on
Las ciencias aplicadas usan a menudo modelos diferenciales cuyas soluciones requieren ser apro-
ximadas anal´ıticamente, por no existir f´ormulas exactas y porque los resultados num´ericos no se
prestan a la dilucidaci´on cualitativa de los mecanismos obrando. Como es com´un que los fen´ome-
nos f´ısicos no converjan uniformemente a la din´amica m´as simple correspondiente a la anulaci´on
del par´ametro peque˜no, la teor´ıa y las t´ecnicas de las perturbaciones singulares [9, 17, 31] se
vuelven imprescindibles. Su m´etodo b´asico m´as vers´atil es el de las expansiones asint´oticas empa-
tadas: se construyen varias aproximaciones locales aparentemente independientes, se relacionan
entre s´ı, y si es posible, se componen para obtener estimaciones m´as globales. En el transcurso de
este proceso, se acepta la presencia de coeficientes cuyo valor, necesario para el resultado final,
moment´aneamente se desconoce. El m´etodo es efectivo si se logra fijar de alguna manera acertada
tales valores pendientes para suministrar una respuesta ´unica al problema. Esto es lo que ocurre
de manera rutinaria, y este ´exito ha hecho universal el uso del m´etodo.
Sin embargo, hace medio siglo, Ackerberg y O’Malley [1] publicaron una investigaci´on, en la
cual hab´ıan detectado una situaci´on previamente desapercibida por la comunidad matem´atica,
donde una soluci´on que se pensaba pr´acticamente nula en toda oportunidad, luc´ıa en casos
excepcionales un comportamiento funcional a tener en cuenta, que bien pod´ıa llamarse reso-
nante. Pero ocurr´ıa que, al aplicar el M´etodo de Expansiones Asint´oticas Empatadas (MEAE)
para averiguar las caracter´ısticas de estas soluciones excepcionales, un coeficiente crucial quedaba
indeterminado, ocultando por v´ıa de consecuencia la estructura o perfil real de tales soluciones.
El art´ıculo de Ackerberg y O’Malley ha tenido muchas repercusiones pero los procedimientos
que se han propuestos para determinar las soluciones resonantes (a menudo novedosos, pero sin
justificaci´on rigurosa) en la gran mayor´ıa de los casos abandonan el MEAE. Como tal m´etodo ha
demostrado tanta utilidad, parece m´as razonable enriquecerlo en vez de desecharlo.
El trabajo [18] del autor para ascender a Profesor Titular de la Universidad de Oriente (Vene-
zuela) consiste en proponer un m´etodo nuevo que se adapta al MEAE y lo completa con un pro-
cedimiento que est´a justificado por la teor´ıa de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) [30].
El prop´osito de este art´ıculo es el de dar a conocer el contenido de dicho trabajo.
En la Secci´on 2, se presenta el contexto del problema de Ackerberg y O’Malley y de la inde-
terminaci´on ocurrida. En la Secci´on 3, se describe el m´etodo nuevo propuesto. En la Secci´on 4, se
detalla la resoluci´on de un problema particular, incluyendo (Subsecci´on 4.1) cuando se agregue
una perturbaci´on exponencialmente peque˜na capaz de tener efectos de orden uno (supersensibi-
lidad). La Secci´on 5 alista otros problemas resueltos en [18]. En la Seccion 6, se muestra c´omo el
m´etodo tambi´en sirve para eliminar la indeterminaci´on en el caso de una ecuaci´on en derivadas
parciales. Finalmente, una Conclusi´on resume lo logrado.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
66 Jacques Laforgue
2 Contexto
Ackerberg y O’Malley [1] consideran el Problema con Valores en la Frontera (PVF)
(
εy
00
− xp(x)y
0
+ p(x)q(x)y = 0, −1 ≤ x ≤ L,
y(−1, ε) = A, y(L, ε) = B, 0 < ε 1,
(2.1)
donde L ∈ (0, ∞), A, B ∈ R, p(x) > 0 para todo x ∈ [−1, L] y la funci´on q satisface la condici´on
especial q(0) ∈ N = {0, 1, 2, . . .}. De manera m´as general, los par´ametros constantes involucrados
pueden tomarse como funciones anal´ıticas de ε ; es decir, A =
P
∞
i=0
ε
i
A
i
, B =
P
∞
i=0
ε
i
B
i
y
L =
P
∞
i=0
ε
i
L
i
(con L
0
> 0 ); tambi´en las funciones p y q pueden depender similarmente de ε
(con p|
ε=0
> 0 ).
Como el par´ametro peque˜no ε multiplica la derivada de orden m´as alto, se tiene una per-
turbaci´on singular. En el interior del dominio, x = 0 es un punto de retorno simple, con un
coeficiente de y
0
que pasa de positivo a negativo; estos signos hacen factibles capas de frontera
(de variaci´on abrupta de la soluci´on) en ambos extremos del dominio.
La aplicaci´on del MEAE empieza por la b´usqueda de una soluci´on Y = Y (x, ε) exterior
(a las capas) que sea regular, para lo cual se le asume una expansi´on asint´otica de Poincar´e en
potencias de ε :
Y (x, ε) ∼
∞
X
i=0
ε
i
Y
i
(x) (ε → 0
+
).
La ecuaci´on que ha de satisfacer el t´ermino dominante Y
0
= Y
0
(x), despu´es de simplificar
por p(x), es
−xY
0
0
+ q(x)Y
0
= 0, −1 < x < 1.
Tiene una degeneraci´on en x = 0. Antes de Ackerberg y O’Malley, se consideraba que la singu-
laridad de esta ecuaci´on impon´ıa como ´unica soluci´on suave la id´enticamente nula, con el mismo
resultado para todos los t´erminos Y
i
= Y
i
(x), i = 1, 2, ···. Pero la condici´on especial que
introdujeron hace admisible la funci´on
Y
0
(x) = k
0
x
q(0)
exp
Z
x
0
q(s) − q(0)
s
ds
, −1 < x < 1, (2.2)
cualquiera que sea la constante k
0
∈ R, y ellos calificaron de resonancia a este posible fen´omeno
excepcional (los t´erminos siguientes Y
1
, Y
2
, . . . pueden tambi´en ser suaves solamente si se satis-
facen m´as condiciones especiales).
Siguiendo con la aplicaci´on del MEAE, se busca una soluci´on interior a la capa izquierda
usando el cambio de escala t
def
= (x + 1)/ε ∈ (0, ∞) que regulariza localmente la ecuaci´on
diferencial, lo cual permite asumir aqu´ı tambi´en una expansi´on asint´otica para Z
izq
(t, ε) =:
y(x, ε) cuando x = −1 + O(ε)
Z
izq
(t, ε) ∼
∞
X
i=0
ε
i
Z
izq
i
(t) (ε → 0
+
).
Como debe satisfacerse adem´as la condici´on inicial Z
izq
(0, ε) = y(−1, ε), el t´ermino dominante
Z
izq
0
= Z
izq
0
(t) ser´a soluci´on del problema
¨
Z
izq
0
+ p(−1)
˙
Z
izq
0
= 0, Z
izq
0
(0) = A
0
,
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
Indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley 67
donde cada punto superior indica una derivaci´on respecto de t. Esto implica un grado de libertad
provisional, con la presencia de la constante α ∈ R :
Z
izq
0
(t) = α + (A
0
− α)e
−p(−1)t
, t ∈ [0, ∞).
La b´usqueda de una soluci´on interior a la capa derecha es an´aloga; con ahora t
def
= (x−L)/ε ∈
(−∞, 0], la expansi´on Z
der
(t, ε) ∼
P
∞
i=0
ε
i
Z
der
i
(t) (ε → 0
+
) tiene un t´ermino dominante
Z
der
0
= Z
der
0
(t) soluci´on del problema
¨
Z
der
0
− L
0
p(L
0
)
˙
Z
der
0
= 0, Z
izq
0
(0) = B
0
,
lo cual implica otro grado de libertad provisional, con la constante β ∈ R :
Z
der
0
(t) = β + (B
0
− β)e
L
0
p(L
0
)t
, t ∈ (−∞, 0].
Empatar la aproximaci´on interior izquierda con la exterior y empatar ´esta con la aproximaci´on
interior derecha es aqu´ı sencillo. Las condiciones l´ım
t→∞
Z
izq
(t, ε) = Y (−1, ε) y Y (L, ε) =
l´ım
t→−∞
Z
der
(t, ε) permiten fijar los grados de libertad mencionados:
α := Y
0
(−1) y β := Y
0
(L
0
).
Tambi´en la sencillez de los empates permite componer las tres aproximaciones locales (sum´an-
dolas y restando los t´erminos duplicados α y β ) para la posible obtenci´on de una aproximaci´on
asint´otica uniforme:
y(x, ε) ∼ Y
0
(x) +
A
0
− Y
0
(−1)
e
−p(−1)(x+1)/ε
+
B
0
− Y
0
(L
0
)
e
L
0
p(L
0
)[x−L(ε)]/ε
. (2.3)
Sin embargo, la soluci´on exterior Y
0
incluye todav´ıa la constante indeterminada k
0
∈ R.
El desconocimiento de esta amplitud de la resonancia impide toda interpretaci´on del resultado
incompleto (2.3) que pretenda aclarar el comportamiento real de la soluci´on. De hecho, se ver´a m´as
adelante que de manera gen´erica, no hay dos capas de frontera usualmente sino una sola, porque
precisamente el valor de k
0
anula bien sea el factor [A
0
−Y
0
(−1)], bien sea el factor [B
0
−Y
0
(L
0
)].
La presencia de las dos capas de frontera es tambi´en posible, pero bajo el cumplimiento de una
condici´on particular sobre el par´ametro L
0
.
La indeterminaci´on as´ı encontrada una vez completada la aplicaci´on del MEAE contrasta
con la usual efectividad de dicho m´etodo. Por esto en particular, el art´ıculo [1] capt´o el inter´es
de muchos investigadores y muchas contribuciones fueron publicadas desde entonces hasta la
actualidad [3–8, 10–13, 15, 21–23, 25–29, 32–36, 38, 39]. Algunas de ellas desecharon el MEAE de
entrada para recurrir a procedimientos de otra naturaleza. Pero las bondades de este m´etodo
incitan m´as bien a rescatarlo de alguna manera.
Unos pocos autores partieron del resultado (2.3) para completarlo. Lagerstrom [20] elimin´o ele-
gantemente la indeterminaci´on pero en el caso muy particular de estar presente una simetr´ıa bien
apropiada.
Grasman y Matkowsky [8] no siguieron con el MEAE sino que recurrieron al c´alculo varia-
cional; sus estimaciones y c´omputos son complicados y no hay justificaci´on matem´atica rigurosa
(de hecho, Srinivasan [34] mostr´o que la propuesta espec´ıfica de [8] no daba la respuesta correcta
para ´ordenes m´as altos).
MacGillivray [25] se qued´o en el marco del MEAE pero lo extendi´o de manera nada conven-
cional; no hay justificaci´on matem´atica y no se sabe si el m´etodo funciona en todos los casos.
Las tres alternativas que se acaban de mencionar no son plenamente satisfactorias, lo cual
justifica proponer un nuevo m´etodo que tenga m´as virtudes a su favor.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
68 Jacques Laforgue
3 Descripci´on del m´etodo nuevo propuesto
En la teor´ıa y en la aplicaci´on de las EDO, es punto de partida casi ineludible la conformaci´on de
un problema bien planteado que garantice existencia, unicidad y cierta suavidad de la soluci´on.
Esto, de manera rutinaria, se logra asociando a la ecuaci´on diferencial un n´umero ajustado de
condiciones adicionales, llamadas gen´ericamente condiciones de frontera, que fijan en un punto
determinado alg´un valor para la soluci´on (condici´on de Dirichlet) o para su derivada (condici´on
de Neuman); o bien imponen una identidad relacionando valores de ambos tipos (condici´on de
Rob´ın).
Ahora bien, cuando este problema bien planteado se desea resolver en computadora digital, el
especialista de an´alisis num´erico procede a una discretizaci´on de sus ecuaciones diferenciales que
las transforma en un sistema de naturaleza matem´atica distinta, el cual en particular puede no
tener el mismo n´umero de grados de libertad que el original. Si es menor, el especialista recurre
a un m´etodo de optimizaci´on y si es mayor, agrega a las condiciones de frontera originales otras
llamadas condiciones num´ericas, consistentes con el problema original y sus propiedades, para
forzar la unicidad de la soluci´on.
De igual manera, el m´etodo propuesto para eliminar la indeterminaci´on encontrada en la
resonancia de Ackerberg y O’Malley consiste en agregar una tercera condici´on de frontera derivada
rigurosamente de la ecuaci´on diferencial.
Esta nueva condici´on, para que aporte algo, debe ser independiente de las dos que ya se
est´an tomando en cuenta. Como ´estas son condiciones de Dirichlet, la derivada de la soluci´on
estar´a involucrada.
Otra caracter´ıstica necesitada para la condici´on adicional tiene que ver con la dificultad fun-
damental de los problemas resonantes. Al contrario de todos los problemas usuales, incluidos los
singularmente perturbados, cantidades trascendentalmente peque˜nas influyen de manera decisi-
va en la estructura y amplitud de la soluci´on resonante. Como el MEAE s´olo toma en cuenta
potencias de ε, ignora estas cantidades exponencialmente peque˜nas y por esto fracasa. La con-
dici´on de frontera por agregar ser´a de tipo mixto, en el sentido de que relacionar´a en la misma
identidad valores de las pendientes en los dos extremos fronterizos, lo cual, de una cierta manera,
equivale precisamente a captar la informaci´on trascendental que viaja desapercibida a lo largo
del dominio.
Ahora bien, ¿c´omo se construye una condici´on de frontera que satisfaga estos requerimientos?
En la caracterizaci´on de los problemas resonantes, los art´ıculos publicados enfatizan que son
especialmente los que pueden ser transformados en ciertas ecuaciones modelo (ver, por ejemplo,
Olver [29]); resulta que la posibilidad de aplicar un m´etodo de reducci´on del orden (quiz´as despu´es
de alg´un cambio de variables) es aqu´ı la regla y no la excepci´on. Se aprovechar´a esta t´ecnica cl´asica
de la teor´ıa de EDO, ya que su validez est´a bien establecida, al contrario de los m´etodos de [8]
y [25]. La primera integral as´ı obtenida se evaluar´a en los dos extremos del dominio y la identidad
resultante proveer´a la relaci´on buscada entre las dos pendientes fronterizas.
Las clases de PVF cuyo car´acter resonante ha sido demostrado rigurosamente en la literatura
son relativamente pocas. Se aplic´o el m´etodo propuesto a pr´acticamente todas, resultando siempre
efectiva la eliminaci´on de la indeterminaci´on. En la secci´on siguiente, se presenta una muestra.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
Indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley 69
4 Ecuaci´on asociada a un tiempo de salida
En probabilidades aplicadas, tiene relevancia el PVF
(
εy
00
− x
m
p(x)y
0
= 0, −1 ≤ x ≤ L(ε),
y(−1, ε) = A(ε), y
L(ε), ε
= B(ε), 0 < ε 1,
(4.1)
donde m es un n´umero natural impar, la funci´on suave p es positiva, L
0
> 0 y A
0
B
0
6= 0.
Se va primero a resolver directamente el PVF y estimar asint´oticamente su soluci´on exacta
para que cuando, despu´es, se obtengan los resultados del m´etodo nuevo propuesto, se pueda
verificar en el momento el acierto de sus aproximaciones.
Un factor integrante de la EDO en (4.1) es exp[−P (x)/ε], donde P es la funci´on (no negativa)
tal que
P (x)
def
=
Z
x
0
s
m
p(s) ds, x ≥ −1. (4.2)
Por lo tanto, y
0
(x, ε) = c
1
(ε) exp[P (x)/ε] y se sigue y(x, ε) = c
1
(ε) I(x, ε) + c
2
(ε), donde
I(x, ε)
def
=
Z
x
0
exp[P (s)/ε] ds, x ≥ −1.
Las constantes de integraci´on c
1
(ε) y c
2
(ε) han de satisfacer c
1
(ε) I(−1, ε) + c
2
(ε) = A(ε) y
c
1
(ε) I
L(ε), ε
+ c
2
(ε) = B(ε). Resulta
y(x, ε) =
A(ε) I
L(ε), ε
− B(ε) I(−1, ε) + [B(ε) − A(ε)] I(x, ε)
I
L(ε), ε
− I(−1, ε)
. (4.3)
Como el ´unico valor m´aximo de P (s) cuando s est´a entre cero y x 6= 0 es P (x), y como
P (s) = P (x) + x
m
p(x)(s − x) + ···, el m´etodo de Laplace (ver, por ejemplo, Wong [37, p´agina
58]) suministra la estimaci´on asint´otica para x 6= 0
I(x, ε) =
ε e
P (x)/ε
x
m
p(x)
[1 + O(ε)] (ε → 0
+
).
Como P
L(ε)
−P (L
0
) =
R
L
0
+εL
1
+O(ε
2
)
L
0
s
m
p(s) ds = εL
1
L
m
0
p(L
0
) + O
ε
2
, se tiene entonces
I
L(ε), ε
=
h
ε
λ(L
0
,L
1
)
exp
P (L
0
)
ε
i
[1 + O(ε)] cuando ε → 0
+
, donde por conveniencia se usa
la constante λ(L
0
, L
1
) definida como λ(L
0
, L
1
)
def
= L
m
0
p(L
0
) exp[−L
1
L
m
0
p(L
0
)]. Luego, de la
soluci´on exacta (4.3) se obtiene por una parte para x = 0, que y(0, ε) = y
0
(ε)[1 + O(ε)] donde
y
0
(ε)
def
=
A
0
p(−1) exp[P (L
0
)/ε] + B
0
λ(L
0
, L
1
) exp[P (−1)/ε]
p(−1) exp[P (L
0
)/ε] + λ(L
0
, L
1
) exp[P (−1)/ε]
y por otra parte para x 6= 0,
y(x, ε) =
y
0
(ε) +
(B
0
− A
0
)
λ(L
0
,L
1
)p(−1)
x
m
p(x)
exp[P (x)/ε]
p(−1) exp[P (L
0
)/ε] + λ(L
0
, L
1
) exp[P (−1)/ε]
[1 + O(ε)] .
El comportamiento de la soluci´on depende de los valores relativos de P (−1) y P (L
0
); conviene
introducir el umbral
b
L donde estos dos valores son iguales.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
70 Jacques Laforgue
Lema 4.1. Si la integral impropia
R
∞
−1
s
m
p(s) ds diverge o si converge a un valor positivo, existe
un ´unico n´umero
b
L ∈ (0, ∞) tal que
R
b
L
−1
s
m
p(s) ds = 0 (por ejemplo, si la funci´on p es par,
entonces
b
L = 1); se tiene entonces P (
b
L) = P (−1) con P (x) < P (−1) para todo x ∈ (−1,
b
L)
y P (x) > P(−1) para todo x >
b
L. Si la integral impropia
R
∞
−1
s
m
p(s) ds converge a un valor
negativo o nulo, se tiene P (x) < P (−1) para todo x > −1 y se define
b
L
def
= ∞.
Demostraci´on. Son consecuencias inmediatas de que la funci´on suave P es estrictamente decre-
ciente en el intervalo [−1, 0] y estrictamente creciente despu´es.
Ahora se est´a en condiciones de describir expl´ıcitamente el comportamiento asint´otico de la
soluci´on exacta, distinguiendo tres casos, tratados en las tres proposiciones siguientes.
Proposici´on 4.1. Si L
0
<
b
L donde
b
L est´a definido en el Lema 4.1, se cumple
y(x, ε) ∼ B
0
+ (A
0
− B
0
) e
−p(−1)(x + 1)/ε
(ε → 0
+
). (4.4)
La soluci´on tiene una capa de frontera a la izquierda en x = −1 y fuera de ella es aproximada-
mente constante, con el valor l´ımite impuesto en el extremo derecho.
Demostraci´on. L
0
<
b
L implica P (L
0
) < P (−1); entonces y
0
(ε) = B
0
+ O
exp
P (L
0
)−P (−1)
ε
(la diferencia es trascendentalmente peque˜na) y para x 6= 0 se tiene y(x, ε) =
B
0
+ (B
0
−
A
0
)
p(−1)
x
m
p(x)
exp
P (x)−P (−1)
ε
[1 + O(ε)], con P (x) < P (−1) si x > −1. Luego si x + 1 6= O(ε),
entonces y(x, ε) = B
0
+O(ε) y si x+1 = O(ε), entonces P (x)−P (−1) = P
0
(−1)(x+1)+O
(x+
1)
2
= −p(−1)(x + 1) + O
ε
2
, se tiene y(x, ε) =
B
0
+ (B
0
− A
0
)
p(−1)
−p(−1)+O(ε)
exp[−p(−1)(x +
1)/ε]
[1 + O(ε)], y la conclusi´on sigue.
Proposici´on 4.2. Si L
0
>
b
L donde
b
L est´a definido en el Lema 4.1, se cumple
y(x, ε) ∼ A
0
+ (B
0
− A
0
) e
L
m
0
p(L
0
)[x − L(ε)]/ε
(ε → 0
+
). (4.5)
La soluci´on tiene una capa de frontera a la derecha en x = L(ε) y fuera de ella es aproximada-
mente constante, con el valor l´ımite impuesto en el extremo izquierdo.
Demostraci´on. L
0
>
b
L implica P (L
0
) > P (−1); entonces y
0
(ε) = A
0
+ O
exp
P (−1)−P (L
0
)
ε
(la diferencia es trascendentalmente peque˜na) y para x 6= 0 se tiene y(x, ε) =
A
0
+ (B
0
−
A
0
)
λ(L
0
,L
1
)
x
m
p(x)
exp
P (x)−P (L
0
)
ε
[1 + O(ε)], con P (x) < P (L
0
) si x < L
0
. Luego si x − L
0
6= O(ε),
entonces y(x, ε) = A
0
+O(ε) y si x−L
0
= O(ε), entonces P (x)−P (L
0
) = P
0
(L
0
)(x−L
0
)+O
(x−
L
0
)
2
= L
m
0
p(L
0
)(x − L
0
) + O
ε
2
, se tiene y(x, ε) =
A
0
+ (B
0
− A
0
)
L
m
0
p(L
0
) exp[−L
1
L
m
0
p(L
0
)]
L
m
0
p(L
0
)+O(ε)
exp[L
m
0
p(L
0
)(x − L
0
)/ε]
[1 + O(ε)], y L
m
0
p(L
0
)(x − L
0
−εL
1
)/ε = L
m
0
p(L
0
)[x − L(ε)]/ε + O(ε)
implica la conclusi´on.
Proposici´on 4.3. Si L
0
=
b
L definido en el Lema 4.1, se cumplen y(0, ε) ∼ y
0
con y
0
def
=
A
0
p(−1) + B
0
λ(L
0
, L
1
)
p(−1) + λ(L
0
, L
1
)
e
y(x, ε) ∼ y
0
+
(A
0
− B
0
)λ(L
0
, L
1
)
p(−1) + λ(L
0
, L
1
)
e
−p(−1)(x + 1)/ε
+
(B
0
− A
0
)p(−1)
p(−1) + λ(L
0
, L
1
)
e
L
m
0
p(L
0
)[x − L(ε)]/ε
(ε → 0
+
).
(4.6)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
Indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley 71
La soluci´on tiene capas de frontera en ambos extremos x = −1 y x = L(ε) ; entre ellas es apro-
ximadamente constante, un promedio ponderado de los valores l´ımites impuestos en los bordes.
Demostraci´on. Como P (L
0
) = P (−1), entonces y
0
(ε) = y
0
y para x 6= 0 se tiene
y(x, ε) =
y
0
+
(B
0
− A
0
)λ(L
0
, L
1
)p(−1)
x
m
p(x)[p(−1) + λ(L
0
, L
1
)]
exp
P (x) − P (−1)
ε
[1 + O(ε)],
con P (x) < P (−1) si −1 < x < L
0
. Luego si x + 1 6= O(ε) y x − L
0
6= O(ε), entonces
y(x, ε) = y
0
+ O(ε). Los casos x + 1 = O(ε) y x − L
0
= O(ε) son an´alogos a los vistos para las
Proposiciones 4.1 y 4.2 respectivamente.
Observaci´on 4.1. Como l´ım
L
1
→−∞
λ(L
0
, L
1
) = ∞ y l´ım
L
1
→∞
λ(L
0
, L
1
) = 0, la aproximaci´on
(4.6) evoluciona continuamente de la (4.4) a la (4.5) cuando L
1
var´ıa de −∞ a ∞.
As´ı aclarado el comportamiento asint´otico de la soluci´on exacta, se asume desconocido y
se aplica el MEAE. Una soluci´on regular de la EDO Y (x, ε) ∼
P
∞
i=0
ε
i
Y
i
(x) debe satisfacer
−x
m
p(x)Y
0
0
= 0 y x
m
p(x)Y
0
i+1
= Y
00
i
= 0 para todo i ∈ N; por lo tanto, todos sus t´erminos son
constantes:
Y (x, ε) ∼
∞
X
i=0
ε
i
k
i
(ε → 0
+
).
Para una posible capa de frontera a la izquierda en x = −1, se introduce el cambio de variables
t = (x + 1)/ε, z(t, ε) = y(x, ε). El problema local correspondiente es
(
¨z + (1 − εt)
m
p(−1 + εt) ˙z = 0, 0 ≤ t < ∞
z(0, ε) = A(ε), l´ım
t→∞
z(t, ε) = Y (−1, ε).
Se resuelve mediante una expansi´on asint´otica z(t, ε) ∼
P
∞
i=0
ε
i
z
i
(t), cuyo t´ermino dominante
z
0
= z
0
(t) va a satisfacer
¨z
0
+ p(−1) ˙z
0
= 0, z
0
(0) = A
0
, l´ım
t→∞
z
0
(t) = k
0
;
por lo tanto, resulta
z
0
(t) = k
0
+ (A
0
− k
0
)e
−p(−1)t
, t ∈ [0, ∞).
En particular, se anota ˙z
0
(0) = (k
0
− A
0
)p(−1) para uso futuro.
Para una posible capa de frontera a la derecha en x = L(ε), se introduce el cambio de variables
t = [x − L(ε)]/ε, z(t, ε) = y(x, ε). El problema local correspondiente es
(
¨z − [L(ε) + εt]
m
p
L(ε) + εt
˙z = 0, −∞ < t ≤ 0
z(0, ε) = B(ε), l´ım
t→−∞
z(t, ε) = Y
L(ε), ε
.
Se resuelve mediante una expansi´on asint´otica z(t, ε) ∼
P
∞
i=0
ε
i
z
i
(t), cuyo t´ermino dominante
z
0
= z
0
(t) va a satisfacer
¨z
0
− L
m
0
p(L
0
) ˙z
0
= 0, z
0
(0) = B
0
, l´ım
t→−∞
z
0
(t) = k
0
;
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
72 Jacques Laforgue
por lo tanto, resulta
z
0
(t) = k
0
+ (B
0
− k
0
)e
L
m
0
p(L
0
)t
, t ∈ (−∞, 0].
En particular, se anota ˙z
0
(0) = (B
0
− k
0
)L
m
0
p(L
0
) para uso futuro.
De conocerse el valor de la constante k
0
, se contar´ıa con la aproximaci´on asint´otica compuesta
y(x, ε) ∼ k
0
+ (A
0
− k
0
) e
−p(−1)(x + 1)/ε
+ (B
0
− k
0
) e
L
m
0
p(L
0
)[x − L(ε)]/ε
(ε → 0
+
).
(4.7)
Para determinar el valor de k
0
, se va a derivar una condici´on de frontera adicional de tipo
mixto; es decir, involucrando ambos extremos del dominio. Como ya se imponen los valores de la
soluci´on ah´ı, ser´a una condici´on sobre los valores de su primera derivada.
Se multiplica la EDO en (4.1) por el factor integrante exp[−P(x)/ε], donde la funci´on P
fue definida en (4.2). Viene {εy
0
exp[−P (x)/ε]}
0
= 0, lo cual se integra de x = −1 a x = L(ε),
resultando εy
0
L(ε), ε
exp[−P
L(ε)
/ε] = εy
0
(−1, ε) exp[−P (−1)/ε]. Luego, usando los valores
˙z
0
(0) anotados m´as arriba, se obtiene
(B
0
− k
0
)L
m
0
p(L
0
) + O(ε) = [(k
0
− A
0
)p(−1) + O(ε)] exp
P
L(ε)
− P (−1)
ε
,
de donde
(B
0
− k
0
)λ(L
0
, L
1
) + O(ε) = [(k
0
− A
0
)p(−1) + O(ε)] exp
P (L
0
) − P (−1)
ε
.
Esto implica que si L
0
<
b
L, se tiene k
0
= B
0
, la aproximaci´on (4.7) se reduce a la (4.4) y se
deduce lo contenido en la Proposici´on 4.1; si L
0
>
b
L, se tiene k
0
= A
0
, la aproximaci´on (4.7)
se reduce a la (4.5) y se deduce lo contenido en la Proposici´on 4.2; finalmente, si L
0
=
b
L, se
tiene k
0
=
A
0
p(−1)+B
0
λ(L
0
,L
1
)
p(−1)+λ(L
0
,L
1
)
= y
0
, la aproximaci´on (4.7) coincide con la (4.6) y se deduce lo
contenido en la Proposici´on 4.3. As´ı, el m´etodo propuesto produce lo correcto en todos los casos.
Se presenta ahora una ilustraci´on de lo analizado en esta secci´on con un ejemplo particular.
Ejemplo 4.1. Para disponer de una soluci´on exacta que se pueda representar gr´aficamente con
facilidad, se va a usar el valor m = 1 as´ı como una funci´on positiva p que depende adem´as del
par´ametro ε (pero sin tender a cero cuando ε → 0
+
).
La soluci´on general de la EDO
εy
00
− x
1 +
2ε
x
2
+ ε
y
0
= 0 (4.8)
es y(x, ε) = c
1
(ε)x exp
x
2
−1
2ε
+ c
2
(ε), y su soluci´on particular bajo las condiciones de frontera
y(−1, ε) = −1, y
L(ε), ε
= 1 (4.9)
es
y(x, ε) =
2xe
x
2
−1
2ε
+ 1 − L(ε)e
L
2
(ε)−1
2ε
1 + L(ε)e
L
2
(ε)−1
2ε
,
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
Indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley 73
la cual admite como aproximaci´on asint´otica uniforme cuando ε → 0
+
y(x, ε) ∼
1 − 2e
−(x + 1)/ε
si L
0
< 1,
1 − e
L
1
1 + e
L
1
−
2
1 + e
L
1
e
−(x + 1)/ε
+
2e
L
1
1 + e
L
1
e
[x − L(ε)]/ε
si L
0
= 1,
−1 + 2e
L
0
[x − L(ε)]/ε
si L
0
> 1.
Esto es consistente con (4.4) (aqu´ı p(−1, 0) = 1 ), con (4.5) (aqu´ı p(L
0
, 0) = 1 ) y con (4.6)
(aqu´ı λ(L
0
, L
1
) = e
−L
1
).
La Figura 1 muestra la soluci´on exacta del PVF (4.8)-(4.9) y su aproximaci´on asint´otica
uniforme superpuesta, para varios valores representativos de L(ε), con una capa de frontera a la
izquierda cuando L
0
<
b
L, una a la derecha cuando L
0
>
b
L y las dos capas de frontera cuando
L
0
=
b
L (aqu´ı,
b
L = 1 porque p es una funci´on par de x ).
Figura 1: Superposici´on de la soluci´on del Ejemplo 4.1 y de su aproximaci´on para los casos
L(ε) = 0,5 <
b
L, L(ε) = 2 >
b
L y L(ε) ' 1 =
b
L. Se us´o el valor ε = 0,05.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
74 Jacques Laforgue
4.1 Ecuaci´on perturbada exhibiendo supersensibilidad
El m´etodo presentado ha eliminado la indeterminaci´on, incluyendo la situaci´on sensible planteada
por Skinner [33], en la cual una modificaci´on de orden ε de la extensi´on del dominio implica un
cambio de orden uno en la soluci´on resonante, cuando L(ε) =
b
L + O(ε).
Se va a ver que el m´etodo adem´as sirve para resolver la situaci´on supersensible [14,19] plantea-
da por Williams [36] (ver tambi´en Kopell [11]), en la cual una perturbaci´on trascendentalmente
peque˜na en la EDO puede provocar un cambio de orden uno en la soluci´on resonante.
Se considera la EDO perturbada
εy
00
− x
m
p(x)y
0
= ε
−1
m+1
e
−M/ε
q(x)[y − C(ε)],
donde intervienen adicionalmente la constante positiva M, la funci´on suave q tal que q(0) > 0,
y la funci´on real anal´ıtica C(ε) =
P
∞
i=0
ε
i
C
i
con C
0
6= 0.
Como la perturbaci´on es trascendentalmente peque˜na (mientras y se mantenga acotada), el
MEAE da el mismo resultado como en el caso no perturbado que se acaba de tratar.
Se deriva una condici´on de frontera adicional de la misma manera, usando el factor integrante
exp[−P (x)/ε] e integrando de x = −1 a x = L(ε); resulta
εy
0
L(ε), ε
exp[−P
L(ε)
/ε] − εy
0
(−1, ε) exp[−P (−1)/ε]
= ε
−1
m+1
e
−M/ε
Z
L(ε)
−1
q(s)[y(s, ε) − C(ε)] exp[−P (s)/ε] ds.
Como el ´unico valor m´ınimo de P (s) cuando s est´a entre −1 y L(ε) es P (0) = 0, y
como P (s) =
p(0)
m+1
s
m+1
+ ···, el m´etodo de Laplace (ver, por ejemplo, Holmes [9, p´agina 306])
proporciona la estimaci´on
ε
−1
m+1
Z
L(ε)
−1
q(s)[y(s, ε) − C(ε)] exp[−P (s)/ε] ds = µ[y(0, 0) − C
0
] + O(ε),
donde µ es la constante µ
def
=
2q(0)Γ(1/(m+1))
m+1
√
(m+1)
m
p(0)
. La condici´on adicional se transforma en
[(B
0
− k
0
)L
m
0
p(L
0
) + O(ε)] e
−P
L(ε)
/ε
+ [(A
0
− k
0
)p(−1) + O(ε)] e
−P (−1)/ε
= [µ(k
0
− C
0
) + O(ε)] e
−M/ε
.
Si M > m´ın{P (−1), P (L
0
)}, la perturbaci´on introducida en la EDO es demasiado peque˜na
para tener efecto perceptible y valen las Proposiciones 4.1, 4.2 y 4.3.
Si M < m´ın{P (−1), P (L
0
)}, la perturbaci´on domina los dem´as efectos e impone k
0
= C
0
como amplitud de la resonancia en primera aproximaci´on.
Si M = m´ın{P (−1), P (L
0
)}, el valor de k
0
queda determinado como
k
0
=
λ(L
0
, L
1
)B
0
+ µC
0
λ(L
0
, L
1
) + µ
si M = P (L
0
) < P (−1),
p(−1)A
0
+ λ(L
0
, L
1
)B
0
+ µC
0
p(−1) + λ(L
0
, L
1
) + µ
si M = P (L
0
) = P (−1),
p(−1)A
0
+ µC
0
p(−1) + µ
si M = P (−1) < P (L
0
).
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
Indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley 75
Todos estos resultados supersensibles (donde aparece la nueva constante C
0
) son consistentes
con lo obtenido en [15] mediante din´amica metaestable.
5 Otros problemas exitosamente resueltos
En [18], se aplic´o el m´etodo propuesto nuevo adem´as a los casos de indeterminaci´on siguientes.
• Una ecuaci´on propuesta por Kreiss y Parter [13]
εy
00
− xy
0
+
xy
a + x
= 0,
donde el n´umero real a es tal que a > 1 (ellos usaron a = 2 ).
• La ecuaci´on de Hermite singularmente perturbada [11]
εy
00
− xy
0
+ qy = 0,
donde est´a dado el n´umero natural q.
• La misma ecuaci´on, con perturbaci´on supersensible (comparar con [36])
εy
00
− xy
0
+ qy = ε
−q−1/2
e
−M/ε
r(x)[y − C(ε)h(x, ε)],
donde intervienen adicionalmente la constante positiva M , la funci´on suave r tal que
r(0) > 0, la funci´on real anal´ıtica C = C(ε) con C
0
6= 0 y la funci´on polinomial de grado
q en x y grado [q/2] (parte entera de q/2 ) en ε
h(x, ε)
def
=
[q/2]
X
i=0
q!
(q − 2i)!
(−ε/2)
i
i!
x
q−2i
.
• Una ecuaci´on de Hermite generalizada, estudiada por Cook y Eckhaus [3] y por Lewis [22]
εy
00
− xy
0
+ (q + ax − a
2
ε)y = 0,
donde est´an dados los n´umeros q ∈ N y a ∈ R.
• Una ecuaci´on con un punto de retorno de orden impar y dos simples en la frontera (comparar
con [1])
εy
00
+ px
m
(x + 1)
x − L(ε)
y
0
= 0,
donde el n´umero real p es positivo, el n´umero natural m es impar y la funci´on real anal´ıtica
L = L(ε) da la frontera derecha del dominio.
• Una ecuaci´on de tercer orden (comparar con [10])
εy
000
− xy
00
= 0,
con dos condiciones de Dirichlet usuales y una de Neuman de tipo mixto:
ε
α(ε)y
0
(−1, ε) + β(ε)y
0
L(ε), ε

= C(ε),
siendo α, β y C funciones reales anal´ıticas de ε .
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
76 Jacques Laforgue
• Una ecuaci´on no lineal que pertenece a una clase de problemas estudiados por Boh´e [2]
εy
00
− xy
0
3/2
= 0.
• Una ecuaci´on con un t´ermino no local (comparar con [16])
εy
00
− xy
0
+ y − M
ε
y(·, ε)
= 0,
donde el funcional M
ε
es el promedio com´un tal que
M
ε
[y]
def
=
1
L(ε) + 1
Z
L(ε)
−1
y(s) ds,
para cualquier funci´on y integrable en el intervalo
−1, L(ε)
.
Se consider´o adem´as un caso que no es de EDO, cuya resoluci´on se presenta en la secci´on
siguiente.
6 Ecuaci´on en derivadas parciales
Se considera el PVF el´ıptico en un rect´angulo del plano xy
εu
xx
+ εu
yy
− xu
x
− yu
y
= 0, −1 ≤ x ≤ L, −1 ≤ y ≤ M,
u(−1, y, ε) = A(y, ε), u(L, y, ε) = B(y, ε),
u(x, −1, ε) = C(x, ε), u(x, M, ε) = D(x, ε), 0 < ε 1,
(6.1)
donde est´an dadas las dos constantes positivas L y M aqu´ı independientes del par´ametro de
perturbaci´on ε, y las funciones reales anal´ıticas A, B, C y D las cuales satisfacen condicio-
nes de consistencia entre s´ı: A(−1, ε) = C(−1, ε), B(M, ε) = D(L, ε), A(M, ε) = D(−1, ε) y
B(−1, ε) = C(L, ε).
Con el objeto de aplicar el MEAE, se empieza buscando una funci´on regular U = U(x, y, ε)
que satisfaga la ecuaci´on reducida. La convergencia, en una regi´on “exterior”, de la soluci´on del
PVF (6.1) hacia la de un problema reducido apropiado, est´a bien establecida para los PVF de su
clase (Lions [24]).
Las soluciones no constantes de la ecuaci´on hiperb´olica xU
x
+ yU
y
= 0, del tipo f(−y/x)
en el tri´angulo −1 ≤ x ≤ y ≤ −Mx, del tipo f (−x/y) en el tri´angulo −1 ≤ y ≤ x ≤ −Ly,
del tipo f (Ly/x) en el tri´angulo −x ≤ Ly ≤ Mx ≤ ML y del tipo f (Mx/y) en el tri´angulo
−y ≤ M x ≤ Ly ≤ LM, implican una singularidad en el origen del plano, punto de retorno de la
ecuaci´on. Por lo tanto, para poder ser regular, la soluci´on exterior es de la forma
U(x, y, ε) = k(ε) ∼
∞
X
i=0
ε
i
k
i
(x, y) ∈ (−1, L) × (−1, M),
donde los t´erminos k
i
son constantes reales.
Esto implica desde ya que si ninguna de las funciones dadas A, B, C o D es constante, se
pueden esperar cuatro capas de frontera, una en cada lado del rect´angulo.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
Indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley 77
La averiguaci´on de una capa de frontera en el lado oeste del rect´angulo pasa por la sustituci´on
de la coordenada x en una vecindad del borde x = −1 por la variable local t = (x + 1)/ε. El
problema correspondiente es
¨u + ε
2
u
yy
+ (1 − εt) ˙u − εyu
y
= 0, 0 ≤ t < ∞, −1 ≤ y ≤ M,
u(0, y, ε) = A(y, ε), l´ım
t→∞
u(t, y, ε) = k(ε).
El t´ermino dominante local u
0
= u
0
(t, y) debe satisfacer
¨u
0
+ ˙u
0
= 0, u
0
(0, y) = A
0
(y), l´ım
t→∞
u
0
(t, y) = k
0
;
por lo tanto, resulta
u
0
(t, y) = k
0
+ [A
0
(y) − k
0
]e
−t
, 0 ≤ t < ∞, −1 ≤ y ≤ M.
Procediendo de manera similar para el lado sur del rect´angulo con la nueva variable local
t = (y + 1)/ε, se obtiene
u
0
(x, t) = k
0
+ [C
0
(x) − k
0
]e
−t
, −1 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t < ∞.
Para el lado este, la variable local es t = (x − L)/ε y el problema correspondiente es
¨u + ε
2
u
yy
− (L + εt) ˙u − εyu
y
= 0, −∞ < t ≤ 0, −1 ≤ y ≤ M,
u(0, y, ε) = B(y, ε), l´ım
t→−∞
u(t, y, ε) = k(ε).
El t´ermino dominante local u
0
= u
0
(t, y) debe satisfacer
¨u
0
− L ˙u
0
= 0, u
0
(0, y) = B
0
(y), l´ım
t→−∞
u
0
(t, y) = k
0
;
por lo tanto, resulta
u
0
(t, y) = k
0
+ [B
0
(y) − k
0
]e
Lt
, −∞ < t ≤ 0, −1 ≤ y ≤ M.
Procediendo de manera similar para el lado norte del rect´angulo con la nueva variable local
t = (y − M )/ε, se obtiene
u
0
(x, t) = k
0
+ [D
0
(x) − k
0
]e
Mt
, −1 ≤ x ≤ L, −∞ < t ≤ 0.
De todo lo anterior, se desprende un ansatz de aproximaci´on asint´otica compuesta al orden
uno,
u(x, y, ε) ∼ k
0
+ [A
0
(y) − k
0
]e
−(x+1)/ε
+ [C
0
(x) − k
0
]e
−(y+1)/ε
+ [B
0
(y) − k
0
]e
L(x−L)/ε
+ [D
0
(x) − k
0
]e
M(y−M )/ε
(ε → 0
+
),
(6.2)
donde la constante real k
0
qued´o sin determinar.
Se recurre entonces a derivar una condici´on de frontera adicional a partir de la ecuaci´on en
derivadas parciales. Al multiplicarla por el factor no nulo exp
−
x
2
+y
2
2ε
, se obtiene la ley de
conservaci´on
εu
x
e
−
x
2
+y
2
2ε
x
+
εu
y
e
−
x
2
+y
2
2ε
y
= 0.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
78 Jacques Laforgue
Integrando respecto de x entre −1 y L, y respecto de y entre −1 y M, viene la nueva
condici´on de frontera
Z
M
−1
h
εu
x
(L, y, ε)e
−L
2
2ε
− εu
x
(−1, y, ε)e
−1
2ε
i
e
−y
2
2ε
dy
+
Z
L
−1
h
εu
y
(x, M, ε)e
−M
2
2ε
− εu
y
(x, −1, ε)e
−1
2ε
i
e
−x
2
2ε
dx = 0. (6.3)
Se pueden usar las soluciones interiores dominantes para estimar los integrandos:
Z
M
−1
n
L[B
0
(y) − k
0
]e
−L
2
2ε
+ [A
0
(y) − k
0
]e
−1
2ε
o
e
−y
2
2ε
dy
+
Z
L
−1
n
M[D
0
(x) − k
0
]e
−M
2
2ε
+ [C
0
(x) − k
0
]e
−1
2ε
i
e
−x
2
2ε
dx ∼ 0.
Al aplicar el m´etodo de Laplace y simplificando por
√
2πε, se sigue finalmente la condici´on
L[B
0
(0) − k
0
]e
−L
2
2ε
+ M [D
0
(0) − k
0
]e
−M
2
2ε
+ [A
0
(0) + C
0
(0) − 2k
0
]e
−1
2ε
∼ 0.
La indeterminaci´on queda entonces eliminada de la manera siguiente.
k
0
=
B
0
(0) si L < m´ın{M, 1},
D
0
(0) si M < m´ın{L, 1},
[B
0
(0) + D
0
(0)]/2 si L = M < 1,
[A
0
(0) + C
0
(0)]/2 si 1 < m´ın{L, M},
[A
0
(0) + B
0
(0) + C
0
(0)]/3 si L = 1 < M,
[A
0
(0) + C
0
(0) + D
0
(0)]/3 si M = 1 < L,
[A
0
(0) + B
0
(0) + C
0
(0) + D
0
(0)]/4 si L = M = 1.
Estos resultados son consistentes con lo obtenido por Grasman y Matkowsky [8] usando su
m´etodo de c´alculo variacional. El valor de la constante k
0
(valor l´ımite de la soluci´on en todo
el interior del rect´angulo) est´a determinado por el o los puntos m´as cercanos al origen-punto de
retorno, puntos de contacto con la frontera del c´ırculo interior al rect´angulo centrado en el origen
y de radio m´aximo: seg´un los valores de L y M, son uno o varios de los puntos (0, −1), (L, 0),
(0, M) y (−1, 0), en los cuales est´an impuestos los valores C(0, ε), B(0, ε), D(0, ε) y A(0, ε),
respectivamente.
7 Conclusi´on
Los problemas singularmente perturbados que exhiben el fen´omeno de resonancia de Ackerberg
y O’Malley representan un reto dif´ıcil para el cient´ıfico interesado en conocer el comportamiento
preciso de sus soluciones y su dependencia del par´ametro peque˜no ε, debido al fracaso del m´etodo
de expansiones asint´oticas empatadas que, en las dem´as situaciones, le aporta toda la informa-
ci´on que busca. Las alternativas de resoluci´on ofrecidas en la literatura especializada involucran
alejarse del an´alisis asint´otico est´andar, sin ofrecer demostraci´on rigurosa de la validez de los
resultados as´ı conseguidos.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
Indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley 79
El m´etodo dado a conocer en este art´ıculo ofrece una alternativa m´as asequible porque se ha
visto que involucra los mismos procedimientos b´asicos que se emplean de manera rutinaria en el
manejo de las ecuaciones diferenciales ordinarias cl´asicas.
Adem´as, la efectividad del m´etodo queda establecida con la resoluci´on de pr´acticamente todos
los problemas cuyo car´acter resonante haya sido debidamente demostrado en la literatura, con
comprobaci´on de los resultados espec´ıficos mediante la estimaci´on de la soluci´on exacta cuando
est´e disponible o mediante la consistencia con los resultados de otro procedimiento.
Tambi´en el m´etodo ha resultado vers´atil, ya que ha sido capaz de resolver los casos excep-
cionales de supersensibilidad as´ı como los problemas de estructura diferente que presenten una
indeterminaci´on an´aloga, un ejemplo se ha visto con la ecuaci´on en derivadas parciales tratada
en la Secci´on 6.
Agradecimientos
In mem´oriam: Agradecimiento eterno al Profesor Bob O’Malley (1939-2020), primera autoridad
incontestable en la teor´ıa, el an´alisis, los m´etodos, las aplicaciones y la historia de las perturba-
ciones singulares, pero sobre todo maestro ejemplar, de una humanidad fuera de lo com´un, cuya
carism´atica personalidad ha marcado profundamente a quienes se beneficiaron de sus ense˜nanzas,
y fuimos much´ısimos en el mundo entero, gracias a su disposici´on siempre abierta y atenta para
todos.
Referencias
[1] Ackerberg, R.C., O’Malley, Jr., R.E.; Boundary layer problems exhibiting resonance, Stud.
Appl. Math., 49(3) (1970), 277 - 295.
[2] Boh´e, A.; Free layers in a singularly perturbed boundary value problem, SIAM J. Appl. Anal.,
21(5) (1990), 1264 -1280.
[3] Cook, L.P., Eckhaus, W.; Resonance in a boundary value problem of singular perturbation
type, Stud. Appl. Math., 52(2) (1973), 129 - 139.
[4] de Groen, P.P.N.; The nature of resonance in a singular perturbation problem of turning
point type, SIAM J. Math. Anal., 11(1) (1980), 1 - 22.
[5] De Maesschalck, P.; Ackerberg-O’Malley resonance in boundary value problems with a turning
point of any order, Comm. Pure Appl. Anal., 6(2) (2007), 311 - 333.
[6] Fruchard, A., Sch¨afke, R.; Composite asymptotic expansions, Springer-Verlag, Berl´ın Heidel-
berg, 2013.
[7] Fu-ru, J.; On the boundary value problems for ordinary differential equations with turning
points, Appl. Math. Mech., 12(2) (1991), 121 - 129.
[8] Grasman, J., Matkowsky, B.J.; A variational approach to singularly perturbed boundary value
problems for ordinary and partial differential equations with turning points, SIAM J. Appl.
Math., 32(3) (1977), 588 - 597.
[9] Holmes, M.H.; Introduction to perturbation methods, Springer, Nueva York, 2013.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
80 Jacques Laforgue
[10] Jiang, F.-r., Jin, Q.-n.; Asymptotic solutions of boundary value problems for third-order
ordinary differential equations with turning points, Appl. Math. Mech., 22(4) (2001), 394 -
403.
[11] Kopell, N.; A geometric approach to boundary layer problems exhibiting resonance, SIAM J.
Appl. Math., 37(2) (1979), 436 - 458.
[12] Kreiss, H.-O.; Resonance for singular perturbation problems, SIAM J. Appl. Math., 41(2)
(1981), 331 - 344.
[13] Kreiss, H.O., Parter, S.V.; Remarks on singular perturbations with turning points, SIAM J.
Math. Anal., 5(2) (1974), 230 - 251.
[14] Laforgue, J.; Supersensibilidad en un modelo de agregaci´on con tiempo discreto, Divulg. Mat.,
6(2) (1998), 113 - 119.
[15] Laforgue, J.; Odd-order turning point: resonance and dynamic metastability, En: Tercer con-
greso sobre ecuaciones diferenciales y aplicaciones, Mayo 1997 (Rueda, A.D., Gu´ı˜nez, J.), La
Universidad del Zulia, Maracaibo, (1998), II, 17 - 23.
[16] Laforgue, J.; Estudio asint´otico de un impulso metaestable para una ecuaci´on con un t´ermino
no local, Pro Math., 14(27-28) (2000), 13 - 23.
[17] Laforgue, J.; M´etodos de perturbaciones para ecuaciones algebraicas y diferenciales, XI T-
ForMa, Departamento de Matem´aticas, Universidad de Oriente, Cuman´a, 2011.
[18] Laforgue, J.; Resoluci´on de la indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley,
Trabajo de Ascenso, Departamento de Matem´aticas, Universidad de Oriente, Cuman´a, 2022.
[19] Laforgue, J.G., O’Malley, Jr., R.E.; Supersensitive boundary value problems, En: Asymptotic
and numerical methods for partial differential equations with critical parameters (Kaper,
H.G., Garbey, M.), Kluwer, Dordrecht, (1993), 215 - 223.
[20] Lagerstrom, P.; Matched asymptotic expansions - Ideas and techniques, Springer-Verlag, Nue-
va York, 1988.
[21] Lakin, W.D.; Boundary value problems with a turning point, Stud. Appl. Math., 51(3) (1972),
261 - 275.
[22] Lewis, G.N.; Turning point problems and resonance, IMA J. Appl. Math., 28 (1982), 169 -
183.
[23] Lin, C.H.; The sufficiency of Matkowsky-condition in the problem of resonance, Trans. Amer.
Math. Soc., 278(2) (1983), 647 - 670.
[24] Lions, J.L.; Perturbations singuli`eres dans les probl`emes aux limites et en contrˆole optimal,
Springer-Verlag, Berl´ın Heidelberg, 1973.
[25] MacGillivray, A.D.; A method for incorporating transcendentally small terms into the method
of matched asymptotic expansions, Stud. Appl. Math., 99 (1997), 285 - 310.
[26] Matkowsky, B.J.; On boundary layer problems exhibiting resonance, SIAM Review, 17(1)
(1975), 82 - 100. Errata, SIAM Review, 18(1) (1976), 112 - 112.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
Indeterminaci´on en la resonancia de Ackerberg y O’Malley 81
[27] McKelvey, R., Bohac, R.; Ackerberg-O’Malley resonance revisited, Rocky Mountain J. Math.,
6 (1976), 637 - 650.
[28] Niijima, K.; Approximate solutions of singular perturbation problems with a turning point,
Funkcialaj Ekvacioj, 24 (1981), 259 - 280.
[29] Olver, F.W.J.; Sufficient conditions for Ackerberg-O’Malley resonance, SIAM J. Math. Anal.,
9(2) (1978), 328 - 355.
[30] O’Malley, Jr., R.E.; Thinking about ordinary differential equations, Cambridge University
Press, Cambridge, 1997.
[31] O’Malley., R.E.; Historical developments in singular perturbations, Springer, Cham, 2014.
[32] Sibuya, Y.; A theorem concerning uniform simplification at a transition point and the problem
of resonance, SIAM J. Math. Anal., 12(5) (1981), 653 - 668.
[33] Skinner, L.A.; Uniform solution of boundary layer problems exhibiting resonance, SIAM J.
Appl. Math., 47(2) (1987), 225 - 231.
[34] Srinivasan, R.; A variational principle for the Ackerberg-O’Malley resonance problem, Stud.
Appl. Math., 79 (1988), 271 - 289.
[35] Watts, A.M.; A singular perturbation problem with a turning point, Bull. Austral. Math. Soc.,
5 (1971), 61 - 73.
[36] Williams, M.; Another look at Ackerberg-O’Malley resonance, SIAM J. Appl. Math., 41(2)
(1981), 288 - 293.
[37] Wong, R.; Asymptotic approximations of integrals, Academic Press, San Diego, 1989.
[38] Wong, R., Yang, H.; On the Ackerberg-O’Malley resonance, Stud. Appl. Math., 110 (2003),
157 - 179.
[39] Zauderer, E.; Boundary value problems for a second order differential equation with a turning
point, Stud. Appl. Math., 51(4) (1972), 411 - 413.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 64–81
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.11540455
(CC BY-NC-SA 4.0)
c
Autor(s)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
Boundary Estimation with the Fuzzy Set
Regression Estimator
Estimaci´on Frontera con el Estimador de Regresi´on con Conjunto Difuso
Jes´us A. Fajardo
(jfajardogonzalez@gmail.com;jfajardo@udo.edu.ve)
Departamento de Matem´atica del N´ucleo de Sucre
Universidad de Oriente
Cuman´a 6101, Rep´ublica Bolivariana de Venezuela
Abstract
In order to extend the properties of the fuzzy set regression estimation method and provide
new results related to the nonparametric regression estimation problems not based on ker-
nels, this paper analyzes the possible boundary effects, if any, of the fuzzy set regression
estimator and presents a criterion to remove it. Moreover, a boundary fuzzy set estimator
is proposed which is defined as a particular class of fuzzy set regression estimators, where
the bias, variance, mean squared error and function that minimizes the mean squared er-
ror of the proposed estimator are given. Finally, these theoretical findings are illustrated
through some numerical examples, and with one real data example. Simulations show that
the proposed estimator has better performance at points near zero in a spread neighborhood
of the smoothing parameter, when it is compared with a general boundary kernel regression
estimator for the two regression models and two density functions considered. The previ-
ously exposed represents the natural extension of the recent results to the boundary fuzzy
set density estimator case.
Palabras y frases clave: Fuzzy set regression estimator, boundary estimation.
Resumen
Con el fin de ampliar las propiedades del m´etodo de estimaci´on de regresi´on con conjunto
difuso y proporcionar nuevos resultados relacionados con los problemas de estimaci´on no
param´etrica de la regresi´on no basados en n´ucleos, este art´ıculo analiza los posibles efectos
frontera, si los hay, del estimador de regresi´on con conjunto difuso y presenta un criterio para
eliminarlo. Adem´as, se propone un estimador frontera con conjunto difuso el cual se define
como una clase particular de estimadores de regresi´on con conjunto difuso, donde el sesgo,
la varianza, el error cuadr´atico medio y la funci´on que minimiza el error cuadr´atico medio
del estimador propuesto son presentados. Finalmente, estos resultados te´oricos se ilustran
a trav´es de algunos ejemplos num´ericos y con un ejemplo de datos reales. Las simulaciones
muestran que el estimador propuesto tiene un mejor desempe˜no en los puntos cercanos a
cero en un entorno disperso del par´ametro de suavizado, cuando se compara con un esti-
mador general frontera de la regresi´on con n´ucleo para los dos modelos de regresi´on y las
dos funciones de densidad consideradas. Lo expuesto anteriormente representa la extensi´on
Recibido 04/05/20023. Revisado 14/7/2023. Aceptado 12/12/2023.
MSC (2010): Primary 62G99; Secondary 62G05.
Autor de correspondencia: Jes´us Fajardo.
Boundary estimation 83
natural de los resultados recientes al caso del estimador frontera de la densidad con conjunto
difuso.
Key words and phrases: Estimador de regresi´on con conjunto difuso, estimaci´on frontera.
1 Introducci´on
Let (X
1
, Y
1
), . . . , (X
n
, Y
n
) be n independent copies of a random vector (X, Y ). The regression
model is given by
Y
i
= r(X
i
) + ε
i
, i = 1, . . . , n,
where the observation errors ε
1
, . . . , ε
n
are random variables such that
E[ε
i
|X] = 0, V ar[ε
i
|X] = σ
2
< ∞, i = 1, . . . , n,
and unknown regression function r(t) = E[Y |X = t], for t ∈ R. The main goal of this paper is
to introduce a new method to estimate the regression function r at points near zero in a spread
neighborhood of the smoothing parameter.
Numerous nonparametric methods have been developed in the literature to estimate r, with
independent pairs of data. Nevertheless, most of those estimation methods are not consistent
when the support of r has finite endpoints, seriously affecting the overall performance of the
implemented estimators. The lack of consistency is a consequence of the so called “boundary
effects,” where the connection between the estimation methods and boundary effects is reflected
in the performances of the proposed estimators for each method. This makes their performances
at boundary points usually to differ from the performances at interior points. Theoretically, the
convergence rates of the estimators at boundary points are slower than the convergence rates at
interior points of the support of r. Strictly speaking, the bias of the estimators is of order O(b
n
)
instead of O(b
2
n
) at boundary points, where b
n
is the smoothing parameter or bandwidth (b
n
→ 0
as n → ∞). This imposes the need to carry out a study to detect whether the boundary effects
are present or not in the estimator of any function, since it is not obvious that the behavior of the
estimator is the same at both the boundary and the interior points. To remove those boundary
effects in kernel regression estimation, a variety of methods have been developed in the literature.
An excellent summary of some well-known methods is given in [24]. Finally, it is important to
remark here that the above phenomenon, called “boundary effects” in the estimation theory, also
affects the fuzzy set regression estimator introduced in [9].
In this paper, a criterion to remove the boundary effects, without boundary modifications,
in the nonparametric fuzzy set regression estimator is proposed, obtaining a natural extension
of the approach introduced in [8] to the regression case. For this, at each point near 0 in a b
n
spread neighborhood, the proposed boundary estimator is defined as a particular class of fuzzy
set regression estimators, where the bias, variance and optimal mean squared error (MSE) are
given. Moreover, the function that minimizes the MSE is obtained. Simultaneously, extensive
simulations are carried out to compare the local M SE of the proposed boundary estimator with
the local MSE of the general boundary estimator given in [24] at points near 0 in a b
n
spread
neighborhood, observing that the local M SE of the proposed boundary estimator is the smallest
for the two regression models and the two density functions considered. This reduction shows that
the boundary fuzzy set regression estimator has better performance than the estimator studied
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
84 Jes´us A. Fajardo
in [24]. Besides, it is appropriate to note that the above results extend the properties of the
fuzzy set regression estimation method, providing new properties related to the nonparametric
regression estimation problems not based on kernels.
The particular choice above was based mainly on the results of the simulations obtained
in [24], for the two regression models and the two density functions considered in this work,
which showed that the general boundary kernel regression estimator defined in the above paper
performed quite well when it was compared with both local linear and classical kernel regression
estimators. Among other reasons that supported the above particular choice, the theoretical
properties that are shared by the boundary estimator defined in [24] and the proposed boundary
estimator are highlighted: non-negativity, “natural boundary continuation” and they improve the
bias but holding on to the low variances. Moreover, it is worth pointing out that the paper [24]
extends the approach introduced in [17] to the regression case, by defining the popular Nadaraya-
Watson estimator, [20, 27], in terms of the boundary kernel density estimator given in [17]. It is
worth noting that the results of the simulations presented in [17] for the four shapes of densities
considered showed that the boundary kernel density estimator introduced in the above work
performed quite well when it was compared with the estimators boarded in [16, 29] and its
simple modification which allows obtaining the local linear fitting estimator [13,30]. Nonetheless,
the results of the simulations obtained in [8], for the four shapes of densities considered in [17],
showed that the boundary fuzzy set density estimator performed quite well when it was compared
with the boundary kernel estimator defined in [17]. Now, combining this last result with the
idea established in [24], it is reasonable to define an estimator of the Nadaraya-Watson type
regression function in terms of the boundary fuzzy set density estimator, in order to achieve the
objectives emphasized in this paper and to solve the problem proposed in [8]. On the other hand,
a literature review on the proposed topic revealed that there is not evidence of publications
with respect to the comparison of the performance between other methods and the method
introduced in [24]. Besides, the author guarantees a conclusion analogous to the previous one for
the fuzzy set regression estimator case. Finally, it is necessary to point out that in the recent
works [1–4, 15, 18, 19, 25] the problems of nonparametric regression estimation are studied under
specific conditions and new regression estimators are introduced through the approach of each
previous work. It should be noted that the method introduced in [15] combines the smoothing
spline and kernel functions. Nonetheless, in the papers [1, 3, 4, 18] and [2, 19, 25] both Nadaraya-
Watson and local linear estimators are the main actors, respectively. This last point suggests
the combination of the approaches in the works [2, 19, 25] and [7] to future research, since in [7]
was shown that the fuzzy set regression estimator has better performance than the local linear
regression smoothers.
This paper is organized as follows. In Section 2, the boundary effects in the fuzzy set regre-
ssion estimator are studied and the criterion to remove such effects is presented. Moreover, the
boundary fuzzy set regression estimator is defined and its asymptotic properties are introduced.
Besides, the function that minimizes the MSE of the proposed boundary estimator is calculated.
The simulation studies and data analysis are introducen in Sections 3 and 4, respectively. Final
comments are given in Section 5.
2 Fuzzy set regression estimator and boundary effects
A study to detect the presence or not of the boundary effects in the estimator of any function
is necessary since it is not obvious that the behavior of the estimator can be the same at the
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
Boundary estimation 85
boundary points as in the interior points. Consequently, this section analyzes the possible bounda-
ry effects, if any, of the fuzzy set regression estimator given in [9], and introduces a criterion to
remove it, without boundary modifications. Moreover, the definition of the boundary fuzzy set
regression estimator and its asymptotic properties are given. Also, the function that minimizes
the MSE of the proposed boundary estimator is obtained.
2.1 Fuzzy set estimator of the regression function
It is important to emphasize that the fuzzy set regression estimation method introduced in [9]
is based on defining an estimator of the Nadaraya-Watson type for independent pairs of data in
terms of the fuzzy set density estimator given in [10]. In order to familiarize the reader with the
above method, a general summary of the details that allowed to define the estimator introduced
in [10] will be presented.
For independent copies X
1
, . . . , X
n
of a random variable X in R, whose distribution L(X)
has a Lebesgue density f
X
near some fixed point x
0
∈ R, a fuzzy set estimator of f
X
, at the point
x
0
∈ R, is defined in [11], by means of thinned point processes N
ϕ
n
n
, a process framed inside the
theory of the point processes, as follows
ˆ
θ
n
(x
0
) =
N
ϕ
n
(t)
n
(R)
n a
n
=
1
n a
n
n
X
i=1
U
i
, t ∈ R,
where
N
ϕ
n
n
=
1
n a
n
n
X
i=1
U
i
ε
X
i
,
ϕ
n
(t) = P (U
i
= 1| X
i
= t), ε
X
is the random Dirac measure, a
n
> 0 is a smoothing parameter
or bandwidth such that a
n
→ 0 as n → ∞, and the random variables U
i
, 1 ≤ i ≤ n, are
independent with values in {0, 1}, which determines whether X
i
belongs to the neighborhood of
x
0
or not. See e.g. [21], for more details on the theory of the point processes and thinned point
processes. In [11], only the asymptotic efficiency within the class of all estimators that are based
on randomly selected points from the sample X
1
, . . . , X
n
was proved. Efficiency was established
using LeCam’s LAN theory. Although the almost sure and uniform convergence properties over
a compact subset on R are not studied, the pointwise convergence in law whose distribution limit
has an asymptotic variance that depends only of f
X
(x
0
) is proposed. On the other hand, it is
opportune to point out that the random variables that define the estimator
ˆ
θ
n
do not possess, for
example, precise functional characteristics in regards to the point of estimation. This absence of
functional characteristics complicates the evaluation of the estimator using a sample. Thus, the
simulations to estimate the density function will be more complicated. However, to overcome the
difficulties presented by the estimator introduced in [11], a particular case of the above estimator
was defined in [10].
Let X be a real random variable whose distribution L(X) has a Lebesgue density f
X
near some
fixed point x
0
∈ R. For each measurable Borel function ϕ : R → [0, 1] and each random variable
V , uniformly distributed on [0, 1] and independent of X, the random variable 1I
[0,ϕ(X)]
(V ) satisfies
ϕ(t) = P(1I
[0,ϕ(X)]
(V ) = 1|X = t). This simple observation allows us to construct a fuzzy set
estimator of f
X
to estimate f
X
(x
0
), which satisfies the conditions required in [11]. Moreover, as
the local behavior of the distribution of X will be evaluated, it is obvious that only observations
X
i
in a neighborhood of x
0
can reasonably contribute to the estimation of f
X
(x
0
).
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
86 Jes´us A. Fajardo
Let X
1
, . . . , X
n
be an independent random sample of X. Let V
1
, . . . , V
n
be independent ran-
dom variables uniformly distributed on [0, 1] and independent of X
1
, . . . , X
n
. Let 1I
h
0,ϕ
X
i
−x
0
b
n
i
(V
i
)
be random variables where b
n
> 0 is a smoothing parameter or bandwidth such that b
n
→ 0 as
n → ∞. For each t ∈ R, one obtains that
ϕ
t − x
0
b
n
= P
1I
h
0,ϕ
X
i
−x
0
b
n
i
(V
i
) = 1| X
i
= t
,
where ϕ
n
(t) = ϕ
t−x
0
b
n
is a Markov kernel (see [21], Section 1.4). Thus, for independent copies
(X
i
, V
i
), 1 ≤ i ≤ n, of (X, V ), the thinned point process is defined as follows
N
ϕ
n
n
(·) =
n
X
i=1
1I
h
0,ϕ
X
i
−x
0
b
n
i
(V
i
) ε
X
i
(·),
with underlying point process N
n
(·) =
P
n
i=1
ε
X
i
(·) and a thinning function ϕ
n
(see [21], Section
2.4), where ε
X
is the random Dirac measure.
On the other hand, observe that the set of observations or the events {X
i
= t}, t ∈
R, in a neighborhood of x
0
can now be described by the thinned point process N
ϕ
n
n
, where
1I
h
0,ϕ
X
i
−x
0
b
n
i
(V
i
) decides, whether X
i
belongs to the neighborhood of x
0
or not. Precisely, ϕ
n
(t)
is the probability that the observation X
i
= t belongs to the neighborhood of x
0
. Note that this
neighborhood is not explicitly defined, but it is actually a fuzzy set in the sense of the paper [28],
given its membership function ϕ
n
. The thinned process N
ϕ
n
n
is therefore a fuzzy set representation
of the data (see [11], Section 2).
Next, the fuzzy set density estimator introduced in [10] is presented, which is a particular
case of the estimator proposed in [11].
Definition 1. Let X
1
, . . . , X
n
be an independent random sample of X. Let V
1
, . . . , V
n
be inde-
pendent random variables uniformly distributed on [0, 1] and independent of X
1
, . . . , X
n
. Let ϕ
be such that a
n
= b
n
R
ϕ(u) du and 0 <
R
ϕ(u) du < ∞. Then, the fuzzy set estimator of the
density function f
X
at the point x
0
∈ R is defined as
ˆ
ϑ
n
(x
0
) =
1
na
n
n
X
i=1
1I
h
0,ϕ
X
i
−x
0
b
n
i
(V
i
) =
1
na
n
τ
n
(x
0
). (1)
Observe that estimator (1) can be written in terms of a fuzzy set representation of the data, since
ˆ
ϑ
n
(x
0
) = (na
n
)
−1
N
ϕ
n
n
(R). This equality justifies the fuzzy set term of estimator (1), where the
thinning function ϕ
n
can be used to select points of the sample with different probabilities, in
contrast to the kernel estimator, which assigns equal weight to all points of the sample. Moreover,
it is important to highlight that (1) is of easy practical implementation and the random variable
τ
n
(x
0
) is binomial B (n, α
n
(x
0
)) distributed with
α
n
(x
0
) = E
1I
h
0,ϕ
X−x
0
b
n
i
(V )
= P
1I
h
0,ϕ
X−x
0
b
n
i
(V ) = 1
= E
ϕ
X − x
0
b
n

. (2)
In what follows, it will be assumed that α
n
(x
0
) ∈ (0, 1). Besides, throughout this article ϕ is the
thinning function that characterizes to estimator (1), and the abbreviation “w.t.f.” will be used
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
Boundary estimation 87
to the phrase “with thinning function.” See [6] and [10], for more details on the asymptotic and
convergence properties of estimator (1).
Next, the regression estimator of the Nadaraya-Watson type introduced in [9], for independent
pairs of data, is presented, which it is defined in terms of estimator (1).
Definition 2. Let ((X
1
, Y
1
), V
1
), . . . , ((X
n
, Y
n
), V
n
) be independent copies of a random vector
((X, Y ), V ), where V
1
, . . . , V
n
are independent random variables uniformly distributed on [0, 1],
and independent of (X
1
, Y
1
), . . . , (X
n
, Y
n
). Let ϕ be such that a
n
= b
n
R
ϕ(u) du and 0 <
R
ϕ(u) du < ∞. Then, the fuzzy set estimator of the regression function r at the point x
0
∈ R is
defined as
ˆr
n
(x
0
) =
P
n
i=1
Y
i
1I
0,ϕ
X
i
−x
0
b
n

(V
i
)
τ
n
(x
0
)
if τ
n
(x
0
) 6= 0
0 if τ
n
(x
0
) = 0,
(3)
where τ
n
is given in (1).
As in the case of estimator (1), the function ϕ characterizes estimator (3). See [5] and [9], for
more details on the asymptotic and convergence properties of estimator (3).
2.2 The boundary problem of the fuzzy set regression estimator and
its boundary estimator
In order to provide new results related to the nonparametric regression estimation problems not
based on kernels, and to ensure the natural extension of the approach to the boundary fuzzy
set density estimation case, this section studies the behavior of estimator (3), at the particular
points 0 and x ∈ (0, b
n
], under the following conditions:
C1 Functions f
X
and r are at least twice continuously differentiable in a neighborhood of
z ∈ [0, ∞).
C2 f
X
(z) > 0.
C3 Sequence b
n
satisfies: b
n
→ 0, nb
n
→ ∞, as n → ∞.
C4 Function ϕ is symmetrical regarding zero, has compact support on [−B , B], B > 0, and it
is continuous at 0 with ϕ(0) > 0.
C5 There exists M > 0 such that |Y | < M a.s.
C6 Function φ(z) = E[Y
2
|X = z] is at least twice continuously differentiable in a neighborhood
of z ∈ [0, ∞).
Next, the results associated with the behavior of the estimator
ˆg
n
(z) =
1
na
n
n
X
i=1
Y
i
1I
h
0,ϕ
X
i
−z
b
n
i
(V
i
), z ∈ [0, ∞), (4)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
88 Jes´us A. Fajardo
at the particular points 0 and x ∈ (0, b
n
], are presented. Here, g(z) = r(z)f
X
(z), a
n
= b
n
R
ϕ(u) du
and 0 <
R
ϕ(u) du < ∞. Moreover, the function ψ will be defined as ψ(u) =
ϕ(u)
R
ϕ(u) du
1I
[−B, B]
(u),
and as each x ∈ (0, b
n
] has the form x = c b
n
, 0 < c ≤ 1, in that which follows, to simplify the
notation, x will be written instead of c b
n
.
Theorem 1. Under the conditions (C1) − (C4), we have
E [ˆg
n
(0)] = g(0) +
b
2
n
2
g
00
(0)
Z
u
2
ψ(u) du + o
b
2
n
.
Proof. Replacing z with 0 into (4), given that V and (X, Y ) are independent, and taking the
conditional expectation with respect to X = 0 and V = v, we obtain
E [ˆg
n
(0)] = a
−1
n
Z
∞
−∞
ϕ
u
b
n
g(u)du.
Combining (C1) and (C4), we can write the above equality as
E [ˆg
n
(0)] =
Z
B
−
B
b
n
ψ(u) g (ub
n
) du.
As (C1) allows us to make a the Taylor expansion of function g in the neighborhood of 0, we can
rewrite the above equality as
E [ˆg
n
(0)] =
Z
B
−
B
b
n
g(0) + b
n
g
0
(0)u +
b
2
n
2
u
2
g
00
(λub
n
)
ψ(u) du. (5)
Moreover, (C3) allows us to suppose, without loss of generality, that b
n
< 1. Now, we can
guarantee that for B > 0
B
b
n
> B. (6)
Combining (C3), (5) and (6), we have
E [ˆg
n
(0)] = g(0) +
b
2
n
2
Z
u
2
h
g
00
(0) +
g
00
(λub
n
) − g
00
(0)
i
ψ(u) du. (7)
Now combining (C1), (C3) and (C4), we obtain
Z
u
2
h
g
00
(λub
n
) − g
00
(0)
i
ψ(u) du = o(1). (8)
The result now follows by combining (7) and (8).
Corollary 1. Under the conditions (C1) − (C4), we have
E
h
ˆ
ϑ
n
(0)
i
= f
X
(0) +
b
2
n
2
f
00
X
(0)
Z
u
2
ψ(u) du + o
b
2
n
.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
Boundary estimation 89
Proof. Setting Y = 1, we have g(0) = f
X
(0) and E[ˆg
n
(0)] = E[
ˆ
ϑ
n
(0)]. From Theorem 1, we obtain
the result.
Theorem 2. Under the conditions (C1) − (C4), we have
E [ˆg
n
(x)] =
Z
B
−c
g(0) + b
n
g
0
(0)u +
b
2
n
2
g
00
(0)u
2
ψ(u) du + o
b
2
n
.
Proof. Replacing z with x into (4), using that V and (X, Y ) are independent, and taking the
conditional expectation with respect to X = x and V = v, we obtain
E [ˆg
n
(x)] = a
−1
n
Z
∞
−∞
ϕ
u − x
b
n
g(u) du.
Combining (C1) and (C4), we can write the above equality as
E [ˆg
n
(x)] =
Z
B
−
x
b
n
ψ(u) g (x + ub
n
) du.
As (C1) allows us to make a Taylor expansion of function g in the neighborhood of x, we can
rewrite the above equality as
E [ˆg
n
(x)] =
Z
B
−c
g(x) + b
n
g
0
(x)u +
b
2
n
2
u
2
g
00
(x + λub
n
)
ψ(u) du. (9)
Now combining (C1) with (C3), and (C3) with (C4), we obtain
h(x) = h(0) + o (1) , for h = g, g
0
, (10)
and
Z
B
−c
u
2
[g
00
(x + λub
n
) − g
00
(0)] ψ(u)du = o (1) . (11)
The result now follows by combining (9), (10) and (11).
Corollary 2. Under the conditions (C1) − (C4), we have
E
h
ˆ
ϑ
n
(x)
i
=
Z
B
−c
f
X
(0) + b
n
f
0
X
(0)u +
b
2
n
2
f
00
X
(0)u
2
ψ(u) du + o
b
2
n
.
Proof. Setting Y = 1, we have g(x) = f
X
(x) and E[ˆg
n
(x)] = E[
ˆ
ϑ
n
(x)]. From Theorem 2, we
obtain the result.
The above results allow us to guarantee that both (1) and (4) estimators do not present the
boundary effects at 0, and they will present the boundary effects at x when h
0
(0)
R
B
−c
u ψ(u) du 6=
0, for h = f
X
, g and for each c ∈ (0, 1]. Moreover, it is important to remark here that Corollaries
1 and 2 are Theorems 1 and 2 in [8].
On the other hand, it is probable enough that estimator (3) presents the above behavior at
the particular points 0 and x ∈ (0, b
n
]: estimator (3) does not present the boundary effects at
0 and it will present the boundary effects at x when r
0
(0)
R
B
−c
u ψ(u) du 6= 0, for each c ∈ (0, 1].
The following two theorems allow to confirm the above suspicion.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
90 Jes´us A. Fajardo
Theorem 3. Under the conditions (C1) − (C5), we have
E [ˆr
n
(0)] = r(0) +
b
2
n
2
r
00
(0) + 2
r
0
(0)f
0
X
(0)
f
X
(0)
Z
u
2
ψ(u) du + o
b
2
n
.
Proof. Let us consider the following decomposition (see, e.g., [12])
ˆr
n
(t) =
ˆg
n
(t)
E
h
ˆ
ϑ
n
(t)
i
1 −
ˆ
ϑ
n
(t) − E
h
ˆ
ϑ
n
(t)
i
E
h
ˆ
ϑ
n
(t)
i
+
h
ˆ
ϑ
n
(t) − E
h
ˆ
ϑ
n
(t)
ii
2
h
E
h
ˆ
ϑ
n
(t)
ii
2
[ˆr
n
(t)]
−1
. (12)
Replacing z with 0 into (12) and taking the expectation, we obtain
E [ˆr
n
(0)] =
E [ˆg
n
(0)]
E
h
ˆ
ϑ
n
(0)
i
−
A
1
h
E
h
ˆ
ϑ
n
(0)
ii
2
+
A
2
h
E
h
ˆ
ϑ
n
(0)
ii
2
,
where
A
1
= E
h
ˆ
ϑ
n
(0) − E
h
ˆ
ϑ
n
(0)
i
ˆg
n
(0)
i
and A
2
= E
ˆ
ϑ
n
(0) − E
h
ˆ
ϑ
n
(0)
i
2
ˆr
n
(0)
.
Combining (C3), (7) and (8), we have
E [ˆg
n
(0)] = g(0) + o (1) . (13)
Now setting Y = 1, we can write (4) as
E
h
ˆ
ϑ
n
(0)
i
= f
X
(0) + o (1) . (14)
As the random vectors ((X
i
, Y
i
), V
i
), 1 ≤ i ≤ n, are identically distributed, we have
A
1
= Cov
h
ˆg
n
(0),
ˆ
ϑ
n
(0)
i
=
1
(na
n
)
2
n
X
i=1
Cov [Y
i
U
i
, U
i
] =
1
na
n
E
Y U
a
n
−
1
n
E
Y U
a
n
E
U
a
n
=
1
na
n
E
ˆg
n
(0)
−
1
n
E
ˆg
n
(0)
E
ˆ
ϑ
n
(0)
,
where U = 1I
[0,ϕ(
X
b
n
)]
(V ) = U
2
. Combining (C3), (13) and (14), we obtain
A
1
=
1
na
n
[g(0) + o (1)] −
1
n
[g(0) + o (1)] [f
X
(0) + o (1)] =
1
na
n
g(0) + o
1
nb
n
.
On the other hand, by (C5) there exists C > 0 such that |ˆr
n
(0)| ≤ C. Thus, we can write
|A
2
| ≤ C E
h
ˆ
ϑ
n
(0) − E[
ˆ
ϑ
n
(0)]
i
2
=
C
na
2
n
E
U
2
− (E [U])
2
=
C
na
n
E
U
a
n
(1 − E [U]) .
Now setting Y = 1 and combining with (7), we can write
E
U
a
n
= E
h
ˆ
ϑ
n
(0)
i
= f
X
(0) +
b
2
n
2
Z
u
2
h
f
00
X
(0)
f
00
X
(λub
n
) − f
00
X
(0)
i
ψ(u) du.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
Boundary estimation 91
Moreover, (C1) implies that f
00
X
is bounded in the neighborhood of 0, and (C3) allows us to
suppose that b
n
< 1. Then we can bound E[
U
a
n
]. Besides, by (2) we can bound (1 − E[U]).
Therefore, A
2
= O(
1
nb
n
). Now, we can write
A
1
E
h
ˆ
ϑ
n
(0)
i
2
=
1
(f
X
(0))
2
+ o(1)
!
1
nb
n
g(0) + o
1
nb
n
= o(1), by (C3),
and
A
2
E
h
ˆ
ϑ
n
(0)
i
2
=
1
(f
X
(0))
2
+ o(1)
!
O
1
nb
n
= O
1
nb
n
.
The last two equalities, imply that
E [ˆr
n
(0)] =
E [ˆg
n
(0)]
E
h
ˆ
ϑ
n
(0)
i
+ O
1
nb
n
.
Now combining (C1), (C3) and (C4), we obtain
b
2
n
2
Z
u
2
h
g
00
(λub
n
) − g
00
(0)
i
ψ(u) du = o(1). (15)
Moreover, combining (7) and (15) we can write
E [ˆg
n
(0)] = g(0) +
b
2
n
2
g
00
(0)
Z
u
2
ψ(u) du,
whence
E[
ˆ
ϑ
n
(0)] = f
X
(0) +
b
2
n
2
f
00
X
(0)
Z
u
2
ψ(u)du.
Then
E [ˆr
n
(0)] =
g(0) +
b
2
n
2
g
00
(0)
R
u
2
ψ(u) du
f
X
(0) +
b
2
n
2
f
00
X
(0)
R
u
2
ψ(u) du
+ O
1
nb
n
= H
n
(0) + O
1
nb
n
.
Next, we will obtain an equivalent expression for H
n
(0). Taking the conjugate, we have
H
n
(0) =
"
g(0)f
X
(0) +
b
2
n
R
u
2
ψ(u) du
2
g
00
(0)f
X
(0) − f
00
X
(0)g(0)
−
b
2
n
2
2
f
00
X
(0)g
00
(0)
Z
u
2
ψ(u) du
2
#
[D
n
(0)]
−1
,
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
92 Jes´us A. Fajardo
where D
n
(0) = (f
X
(0))
2
−
b
2
n
f
00
X
(0)
R
u
2
ψ(u) du
2
2
. From (C2) and (C3), we obtain [D
n
(0)]
−1
=
(f
X
(0))
−2
+ o(1). Thus,
H
n
(0) =
"
g(0)f
X
(0) +
b
2
n
2
g
00
(0)f
X
(0) − f
00
X
(0)g(0)
Z
u
2
ψ(u) du
−
b
2
n
2
2
f
00
X
(0)g
00
(0)
Z
u
2
ψ(u) du
2
#
h
(f
X
(0))
−2
+ o(1)
i
= r(0) +
b
2
n
2
"
g
00
(0)f
X
(0) − f
00
X
(0)g(0)
(f
X
(0))
2
#
Z
u
2
ψ(u) du + o
b
2
n
.
Then
E [ˆr
n
(0)] = r(0) +
b
2
n
2
r
00
(0) + 2
f
0
X
(0)r
0
(0)
f
X
(0)
Z
u
2
ψ(u) du + o(b
2
n
) + O
1
nb
n
.
By (C3), we have (nb
n
)
−1
= o(1). The result now follows combining the last two equalities.
Theorem 4. Under the conditions (C1) − (C5), we have
E [ˆr
n
(x)] = r(0) + r
0
(0) b
n
Z
B
−c
u ψ(u) du +
b
2
n
2
r
00
(0) + 2
r
0
(0)f
0
X
(0)
f
X
(0)
Z
B
−c
u
2
ψ(u) du
−
g
0
(0)f
0
X
(0) b
2
n
[f
X
(0)]
2
"
Z
B
−c
u ψ(u) du
#
2
+ o
b
2
n
. (16)
Proof. Replacing z with x into (12) and taking the expectation, we obtain
E [ˆr
n
(x)] =
E [ˆg
n
(x)]
E
h
ˆ
ϑ
n
(x)
i
−
˙
A
1
h
E
h
ˆ
ϑ
n
(x)
ii
2
+
˙
A
2
h
E
h
ˆ
ϑ
n
(x)
ii
2
,
where
˙
A
1
= E
h
ˆ
ϑ
n
(x) − E
h
ˆ
ϑ
n
(x)
i
ˆg
n
(x)
i
and
˙
A
2
= E
"
ˆ
ϑ
n
(x) − E
h
ˆ
ϑ
n
(x)
i
2
ˆr
n
(x)
#
.
Combining (9) and (10), both hold true under the hypotheses of Theorem 4, we can write
E [ˆg
n
(x)] =
Z
B
−c
h
g(0) + b
n
g
0
(0)u +
(b
n
u)
2
2
(g
00
(0) + [g
00
(x + λub
n
) − g
00
(0)])
i
ψ(u)du. (17)
Remember that, (C3) allows us to suppose that b
n
< 1. Now, combining (C1), (C3), (C4) with
(17), we have that E[ˆg
n
(x)] = g(0)
R
B
−c
ψ(u) du + o (1), whence E[
ˆ
ϑ
n
(x)] = f
X
(0)
R
B
−c
ψ(u) du +
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
Boundary estimation 93
o (1). Moreover, combining the fact that ((X
i
, Y
i
), V
i
), 1 ≤ i ≤ n, are identically distributed,
with the previous equalities and (C3), we have
˙
A
1
=
1
(na
n
)
2
n
X
i=1
Cov [Y
i
U
i
, U
i
] =
1
na
n
E
ˆg
n
(x)
−
1
n
E
ˆg
n
(x)
E
ˆ
ϑ
n
(x)
=
1
na
n
g(0)
Z
B
−c
ψ(u) du + o
1
nb
n
,
where in this case U = 1I
h
0,ϕ
X−x
b
n
i
(V ) = U
2
. On the other hand, by (C5) there exists C > 0
such that |ˆr
n
(0)| ≤ C. Thus, we can write
|
˙
A
2
| ≤ CE
h
ˆ
ϑ
n
(x) − E[
ˆ
ϑ
n
(x)]
i
2
=
C
na
2
n
E
U
2
− (E [U])
2
=
C
na
n
E
U
a
n
(1 − E [U]) .
Now setting Y = 1 and combining with (17), we can write
E[
ˆ
ϑ
n
(x)] =
Z
B
−c
f
X
(0) + b
n
f
0
X
(0)u +
b
2
n
2
u
2
f
00
X
(x + λub
n
)
ψ(u) du.
Moreover, (C1) implies that f
00
X
is bounded in the neighborhood of x, and (C3) allows us to
suppose that b
n
< 1. Thus, we can bound E
h
ˆ
ϑ
n
(x)
i
. Besides, by (2) we can bound (1 − E[U]).
Then
˙
A
2
= O(
1
nb
n
). Therefore
˙
A
1
(E[
ˆ
ϑ
n
(x)])
2
= o(1) and
˙
A
2
(E[
ˆ
ϑ
n
(x)])
2
= O(
1
nb
n
). In consequence,
E [ˆr
n
(x)] =
E [ˆg
n
(x)]
E
h
ˆ
ϑ
n
(x)
i
+ O
1
na
n
.
Now combining (C1), (C3) and (C4), we obtain
b
2
n
2
Z
B
−c
u
2
h
g
00
(x + λub
n
) − g
00
(0)
i
ψ(u) du = o(1).
The previous equality allows us to rewrite (17) as
E[ˆg
n
(x)] =
Z
B
−c
[g(0) + b
n
g
0
(0)u +
b
2
n
2
g
00
(0)u
2
]ψ(u) du,
whence
E[
ˆ
ϑ
n
(x)] =
Z
B
−c
[f
X
(0) + b
n
f
0
X
(0)u +
b
2
n
2
f
00
X
(0)]ψ(u) du.
Then
E [ˆr
n
(x)] =
g(0)C
c
+ C
n,g
(0)
f
X
(0)C
c
+ C
n,f
X
(0)
+ O
1
nb
n
=
˙
H
n
(0) + O
1
nb
n
, (18)
where
C
c
=
Z
B
−c
ψ(u) du
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
94 Jes´us A. Fajardo
and
C
n,q
(0) = b
n
q
0
(0)
Z
B
−c
u ψ(u) du +
b
2
n
2
q
00
(0)
Z
B
−c
u
2
ψ(u) du, for q = g, f
X
.
Next, an equivalent expression for
˙
H
n
(0) will be obtained. Taking the conjugate and combining
the following equalities
(i) C
n,f
X
(0) = o(1), by (C3),
(ii)
1
(f
X
(0) C
c
)
2
−
C
n,f
X
(0)
2
=
1
(f
X
(0) C
c
)
2
+ o(1), by (i),
(iii) C
n,g
(0)C
n,f
X
(0) = b
2
n
g
0
(0)f
0
X
(0)
"
Z
B
−c
uψ(u)du
#
2
+ ø
b
2
n
, by(C3),
(iv) g(0)f
X
(0) = r(0) [f
X
(0)]
2
, since g(x) = r(x)f
X
(x),
(v) f
X
(0)g
0
(0) − g(0)f
0
X
(0) = r
0
(0) [f
X
(0)]
2
, given that r(x) =
g(x)
f
X
(x)
,
(vi) g
00
(0)f
X
(0) − f
00
X
(0)g(0) = r
00
(0) [f
X
(0)]
2
+ 2f
X
(0)r
0
(0)f
0
X
(0),
we can write
˙
H
n
(0) = r(0) + r
0
(0) b
n
Z
B
−c
u ψ(u) du + b
2
n
r
00
(0) + 2
r
0
(0)f
0
X
(0)
f
X
(0)
Z
B
−c
u
2
ψ(u) du
+
g
0
(0)f
0
X
(0) b
2
n
[f
X
(0)]
2
"
Z
B
−c
u ψ(u) du
#
2
+ o
b
2
n
.
By (C3), we have that (nb
n
)
−1
= o(1). The result now follows combining (18) and the last two
equalities.
Next, the results that will allow us to eliminate the boundary effects in estimator (3) are
presented, which were used in [8], Theorems 3 and 4, to eliminate the boundary effects in estimator
(1). The following theorem in particular will allow us to control suitably the constants that define
the bias of estimator (3) and it justifies a condition in the criterion introduced to eliminate the
terms with coefficients b
n
in all the expressions above.
Theorem 5. Under condition (C4), we have that for M > 0 there exists B
0
> 0 such that
v =
Z
B
0
−B
0
u
2
ψ(u) du ≤ M.
Proof. Similar to the proof of Theorem 3 in [8].
Observe that combining (C4) and Theorem 5 we obtain
v =
Z
B
0
−B
0
u
2
ψ(u) du =
Z
u
2
ψ(u) du ≤ M,
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
Boundary estimation 95
for B
0
> B. Now, we can redefine ψ as
ψ(u) =
ϕ(u)
R
ϕ(u) du
1I
[−B
0
,B
0
]
(u), B
0
≤ B. (19)
To give a simple and effective solution to the boundary problem, without boundary corrections,
a criterion will be implemented which will allow us to eliminate the terms with coefficients b
n
in
all above expressions, making
R
B
−c
u ψ(u) du = 0 for each c ∈ (0, b
n
]. Such criterion is based on
deriving a thinning function ϕ as the solution to the following variational problem:
Maximizing :
Z
ϕ(u) du.
Subject to :
Z
ϕ
2
(u) du = k,
Z
u ϕ(u) du = 0, (VP)
Z
u
2
− v
ϕ(u) du = 0,
k > 0, ϕ(u) = 0 for u ∈ (−B, B)
c
, ϕ(0) > 0, ϕ(u) ∈ [0, 1], v ∈ (0, M ].
Theorem 6. The solution of (VP) is given by
ϕ
k
(u) =
"
1 −
16
15 k
2
u
2
#
1I
[
−
15
16
k,
15
16
k
]
(u), k > 0. (20)
In particular, for each c ∈ (0, b
n
] we have
ϕ
c
(u) =
"
1 −
16
15 c
2
u
2
#
1I
[
−
15
16
c,
15
16
c
]
(u). (21)
Proof. Similar to the proof of Theorem 4 in [8].
From (16) w.t.f. ϕ
c
we obtain
E [ˆr
n
(x)] = r(0) +
b
2
n
2
r
00
(0) + 2
r
0
(0)f
0
X
(0)
f
X
(0)
Z
B
0
−B
0
u
2
ψ
c
(u) du + o
b
2
n
, (22)
where 0 < c ≤ 1, 0 < B
0
≤
15
16
c, ψ
c
is given by (19) w.t.f. ϕ
c
, and ϕ
c
is given by (21).
Thus, estimator (3) does not present the boundary effects at x when the thinning function is ϕ
c
.
Moreover, combining Theorem 3 with Theorem 3.1 in [5], we obtain
E [ˆr
n
(z)] = r(z) +
b
2
n
2
r
00
(z) + 2
r
0
(z)f
0
X
(z)
f
X
(z)
Z
B
0
−B
0
u
2
ψ
k
(u) du + o
b
2
n
,
for each k > 1 and z ∈ {0} ∪ (b
n
, ∞), where B
0
≤
15
16
k, ψ
k
is given by (19) w.t.f. ϕ
k
, and ϕ
k
is
given by (20). Thus, estimator (3) does not present the boundary effects at z ∈ {0} ∪ (b
n
, ∞)
when the thinning function is ϕ
k
, for each k > 1.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
96 Jes´us A. Fajardo
On the other hand, denoting the Epanechnikov kernel by K
E
, and replacing k with
5
3
and
M with M
E
=
R
u
2
K
E
(u) du into (V P ), we have that estimator (3) w.t.f. ϕ
5
3
, is the estimator
studied in [5]. That is, the estimator introduced in [5] is a particular case of the class of estimators
defined by (3) w.t.f. ϕ
k
, for each k > 1. Moreover, the results obtained in [5] allow to guarantee
that ϕ
k
minimize M SE[ˆr
n
(z)], for each k > 1 and z ∈ {0} ∪ (b
n
, ∞). Particularly in [5], it was
shown that MSE [ˆr
n
(t)] ≤ MSE
h
ˆr
NW
n
(t)
i
for each t ∈ R, where ˆr
n
is given by (3) w.t.f. ϕ
5
3
and
ˆr
NW
n
is the classical kernel regression estimator.
Next, the boundary estimator introduced in [8] and the main result of the above article are
presented. The inclusion of the above results is based on the following two reasons. First,
because the boundary regression estimator will be defined in terms of the estimator proposed
in [8]. Second, to highlight two asymptotic properties of the boundary estimator defined in [8].
Definition 3. Let X
1
, . . . , X
n
be an independent random sample of X. Let V
1
, . . . , V
n
be inde-
pendent random variables uniformly distributed on [0, 1] and independent of X
1
, . . . , X
n
. Then,
the boundary fuzzy set estimator of the density function f
X
at the point x ∈ (0, b
n
] is defined as
˜
ϑ
n
(x) =
1
n a
n
n
X
i=1
1I
h
0, ϕ
c
X
i
−x
b
n
i
(V
i
) =
1
na
n
τ
(c)
n
(x), (23)
where 0 < c ≤ 1, a
n
= b
n
R
ϕ
c
(u) du, and ϕ
c
is given by (21).
Theorem 7. Under conditions (C1)-(C3), we have
E
h
˜
ϑ
n
(x) − f
X
(0)
i
=
b
2
n
2
f
00
X
(0)
Z
B
0
−B
0
u
2
ψ
c
(u) du + o
b
2
n
,
and
V ar
h
˜
ϑ
n
(x)
i
=
1
n b
n
R
ϕ
c
(u) du
f
X
(0) + o
1
n b
n
,
where 0 < c ≤ 1, 0 < B
0
≤
15
16
c, ψ
c
is given by (19) w.t.f. ϕ
c
, and ϕ
c
is given by (21).
Next, the boundary fuzzy set estimator of r and the main result of this paper are presented.
Definition 4. Let ((X
1
, Y
1
), V
1
), . . . , ((X
n
, Y
n
), V
n
) be independent copies of a random vector
((X, Y ), V ), where V
1
, . . . , V
n
are independent random variables uniformly distributed on [0, 1],
and independent of (X
1
, Y
1
), . . . , (X
n
, Y
n
). Then, the boundary fuzzy set estimator of the regressi-
on function r at the point x ∈ (0, b
n
] is defined as
˜r
n
(x) =
P
n
i=1
Y
i
1I
0,ϕ
c
X
i
−x
b
n

(V
i
)
τ
(c)
n
(x)
if τ
(c)
n
(x) 6= 0
0 if τ
(c)
n
(x) = 0,
(24)
where 0 < c ≤ 1, 0 < B
0
≤
15
16
c, τ
(c)
n
is given in (23), and ϕ
c
is given by (21).
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
Boundary estimation 97
Lemma 1. Under the conditions (C1) − (C6), we have
E [˜r
n
(x) − r(0)] =
b
2
n
2
r
00
(0) + 2
f
0
X
(0) r
0
(0)
f
X
(0)
Z
B
0
−B
0
u
2
ψ
c
(u)du + o
b
2
n
and
V ar [˜r
n
(x)] =
1
n b
n
R
ϕ
c
(u) du
φ(0) − r
2
(0)
f
X
(0)
+ o
1
n b
n
,
where 0 < c ≤ 1, 0 < B
0
≤
15
16
c, ψ
c
is given by (19) w.t.f. ϕ
c
, and ϕ
c
is given by (21).
Proof. From (3) w.t.f. ϕ
c
, we have ˜r
n
(x) = ˆr
n
(x). Now, combining the above equality with (22),
we obtain the expression for E [˜r
n
(x) − r(0)]. For the proof of V ar [˜r
n
(x)], follow [5] considering
ϕ
c
as thinning function, keeping in mind that q(x) = q(0) + o(1), for q = f
X
, r, φ.
For z ≥ b
n
, ˜r
n
(z) reduces to the fuzzy set regression estimator ˆr
n
(z) given by (3) w.t.f. ϕ
1
.
Thus, ˜r
n
(z) is a natural boundary continuation of estimator (3) w.t.f. ϕ
1
. Moreover, the results
obtained in [5] allow us to guarantee that the thinning function ϕ
c
locally minimizes MSE[˜r
n
(x)],
for each c ∈ (0, 1].
Next, asymptotic formulae for the optimal smoothing parameter and optimal mean square
error of (24), b
∗
n
and MSE
∗
, are presented, which are an immediate consequence of Lemma 1, and
they guarantee that estimator (24) is locally optimal in terms of rates of convergence (see [26]).
Corollary 3. Under the conditions (C1) − (C6), we have
b
∗
n
= n
−1/5
R
ϕ
c
(u) du
−1
φ(0)−r
2
(0)
f
X
(0)
r
00
(0) + 2
f
0
X
(0) r
0
(0)
f
X
(0)
2
R
B
0
−B
0
u
2
ψ
c
(u)du
2
1/5
and
MSE
∗
[˜r
n
( ˙x)] =
5
4
n
−4/5
φ(0)−r
2
(0)
f
X
(0)
4
r
00
(0) + 2
f
0
X
(0) r
0
(0)
f
X
(0)
2
R
B
0
−B
0
u
2
ψ
c
(u)du
−2
R
ϕ
c
(u) du
4
1/5
,
where 0 < c ≤ 1, ˙x = c b
∗
n
, 0 < B
0
≤
15
16
c, ψ
c
is given by (19) w.t.f. ϕ
c
, and ϕ
c
is given by (21).
3 Simulations results
In this section some simulation results are presented, which are only designed to illustrate the
performance of (24) at points near 0 in a b
n
spread neighborhood. For purposes of comparison,
the estimator introduced in [24] was also considered. It is important to remark here that, the
particular choice above was based mainly on the results of the simulations obtained in [24], for
the two regression models and two densities considered in this section, which showed that the
boundary kernel regression estimator performed quite well when it was compared with the local
linear and ˆr
NW
n
estimators. Among other reasons that sustained the above particular choice,
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
98 Jes´us A. Fajardo
the theoretical properties that are shared by the boundary kernel regression estimator defined
in [24] and the proposed boundary fuzzy set regression estimator are highlighted: non-negativity,
“natural boundary continuation” and they improve the bias but holding on to the low variances.
Properties not justified will be verified in this section. The author considers that the previous
comments and discussion motivated by the literature review results, justify considering only the
estimator given by [24] to develop the simulations.
The general boundary kernel estimator introduced in [24] is defined as
˜r
K
n
(l) =
P
n
i=1
Y
i
n
K
l+w
1
(X
i
)
h
n
+ K
l−w
1
(X
i
)
h
n
o
P
n
i=1
n
K
l+w
2
(X
i
)
h
n
+ K
l−w
2
(X
i
)
h
n
o
, (25)
where l = s h
n
, 0 ≤ s ≤ 1, h
n
is the smoothing parameter and K is a kernel function of order 2.
Moreover, w
k
is a transformation defined as
w
k
(y) = y +
1
2
d
k
y
2
+ λ
0
(d
k
)
2
y
3
, k = 1, 2,
where
d
1
= w
00
1
(0) =
g
0
(0)
g(0)
D
K,s
, d
2
= w
00
2
(0) =
f
0
X
(0)
f
X
(0)
D
K,s
,
and λ
0
is a constant such that 12λ
0
> 1, with
D
K,s
=
2
R
1
s
(u − s)K(u) du
2
R
1
s
(u − s)K(u) du + s
.
To assess the effect of the boundary estimators at points near 0 in a b
n
spread neighborhood, the
following models are studied:
Model 1 : r
1
(z) = 2 z + 1 and Model 2 : r
2
(z) = 2 z
2
+ 3 z + 1,
where z ∈ [0, ∞) and errors ε
j
, are assumed to be standard normally distributed independent
random variables. Likewise, consider two cases of density f
X
with support [0, ∞):
Density 1 : f
1
X
(z) = exp(−z) and Density 2 : f
2
X
(z) =
2
π(1 + z
2
)
.
It is important to emphasize that, for z ≥ h
n
the estimator (25) reduces to the classical kernel
estimator ˆr
NW
n
. Thus, (25) is a natural boundary continuation of ˆr
NW
n
(see [24], Section 2).
On the other hand, the following optimal global smoothing parameters were implemented as
the smoothing parameters of both (24) and (25) estimators (see Theorems 3.1 and 2.4.1 in [5]
and [12], respectively):
b
n
=
C
n
R
ϕ
5
3
(u) du
−1
R
u
2
ψ
5
3
(u) du
2
1/5
(26)
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
Boundary estimation 99
and
h
n
=
"
C
n
R
K
2
E
(u)du
R
u
2
K
E
(u)du
2
#
1/5
, (27)
where
C =
R
φ(u)−r
2
(u)
f
X
(u)
du
R
r
00
(u) + 2
f
0
X
(u) r
0
(u)
f
X
(u)
2
du
, (28)
ϕ
5
3
is given by (20), ψ
5
3
is given by (19) w.t.f. ϕ
5
3
, and v =
R
u
2
ψ
5
3
(u)du ≤
R
u
2
K
E
(u) du = M
E
(see [5], Section 3).
It is important to emphasize that the estimator (3) w.t.f. ϕ
5
3
has better performance than the
estimator ˆr
NW
n
(see [5]). Moreover, the reason for using an optimal global smoothing parameter
as the smoothing parameter is that the comparisons based on the optimal smoothing parameter
are more convincing than comparisons based on approximated smoothing parameters, which—
because of the quality or otherwise of the smoothing parameter selection method—might be
misleading. Also, a global rather than local smoothing parameter choice is made, because this is
much more likely to be used in applications.
The following formulas and values are used in all simulations, K
E
(u) =
3
4
(1 − x
2
)1I
[−1,1]
(u),
λ
0
= 0.0933, v = M
E
/4, s = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 and c = (h
n
/b
n
) s, where the smoothing parame-
ters b
n
and h
n
are given by (26) and (27), respectively. Moreover, the simulated sample sizes are
n = 50 and n = 500, and all results are calculated by averaging over 1000 trials. Simultaneously,
for each regression model and each density, the absolute bias (absolute value of the estimated
value minus the true value) and the MSE of both estimators are calculated, at the points x = c b
n
and l = s h
n
of the following boundary regions (0, b
n
) and (0, h
n
). Nonetheless, the comparison
of both (24) and (25) estimators through the mean integrated squared error is not convenient,
since to the two regression models and two densities considered the boundary regions satisfy the
following property (0, h
n
] ⊂ (0, b
n
]. The results are shown in Tables 3 and 3. Furthermore, a
close examination of Tables 3 and 3 allows us to see that for the two regression models and two
densities considered the proposed boundary estimator is the best in terms of MSE at points near
0 in a b
n
spread neighborhood, since it has low bias and extremely low variance, guaranteeing that
MSE [˜r
n
(x)] ≤ M SE[˜r
K
n
(x)] at the points x near 0 in a b
n
spread neighborhood. Additiona-
lly, these properties are apparently preserved over the rest of the boundary regions. Thus, the
proposed boundary estimator outperforms the estimator introduced in [24].
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
100 Jes´us A. Fajardo
Table 1: Bias and MSE of the indicated regression estimators at boundary, case of density 1.
˜r
n
Model 1 ˜r
K
n
b
n
= 3.5045 n = 50 h
n
= 2.1047
c — s
0.0601 0.1201 0.1802 0.2402 0.3003 — 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000
| Bias | — | Bias |
0.0011 0.0560 0.1332 0.2454 0.3812 — 0.1726 0.4102 0.5823 0.7552 0.9440
MSE — MSE
0.0000 0.0031 0.0177 0.0602 0.1453 — 0.0298 0.1682 0.3391 0.5703 0.8911
b
n
= 2.2112 n = 500 h
n
= 1.3280
c — s
0.0601 0.1201 0.1802 0.2402 0.3003 — 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000
| Bias | — | Bias |
0.0101 0.0240 0.0528 0.0963 0.1515 — 0.2347 0.2842 0.3228 0.3807 0.4496
MSE — MSE
0.0001 0.0006 0.0028 0.0093 0.0230 — 0.0551 0.0807 0.1042 0.1449 0.2022
˜r
n
Model 2 ˜r
K
n
b
n
= 1.2978 n = 50 h
n
= 0.7794
c — s
0.0601 0.1201 0.1802 0.2402 0.3003 — 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000
| Bias | — | Bias |
0.0383 0.0200 0.0225 0.0408 0.0579 — 0.1667 0.2058 0.2433 0.2762 0.3045
MSE — MSE
0.0015 0.0004 0.0005 0.0017 0.0034 — 0.0278 0.0423 0.0592 0.0763 0.0927
b
n
= 0.8189 n = 500 h
n
= 0.4918
c — s
0.0601 0.1201 0.1802 0.2402 0.3003 — 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000
| Bias | — | Bias |
0.0036 0.0012 0.0062 0.0111 0.0230 — 0.0727 0.0907 0.1047 0.1133 0.1162
MSE — MSE
0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 — 0.0053 0.0082 0.0110 0.0128 0.0135
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
Boundary estimation 101
Table 2: Bias and MSE of the indicated regression estimators at boundary, case of density 2.
˜r
n
Model 1 ˜r
K
n
b
n
= 2.1614 n = 50 h
n
= 1.2980
c — s
0.0601 0.1201 0.1802 0.2402 0.3003 — 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000
| Bias | — | Bias |
0.0201 0.0148 0.0359 0.0734 0.1233 — 0.0996 0.2173 0.3078 0.3800 0.4398
MSE — MSE
0.0004 0.0002 0.0013 0.0054 0.0152 — 0.0099 0.0472 0.0947 0.1444 0.1934
b
n
= 1.3637 n = 500 h
n
= 0.8190
c — s
0.0601 0.1201 0.1802 0.2402 0.3003 — 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000
| Bias | — | Bias |
0.0050 0.0017 0.0042 0.0179 0.0378 — 0.0652 0.1161 0.1502 0.1702 0.1801
MSE — MSE
0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0014 — 0.0042 0.0135 0.0226 0.0290 0.0324
˜r
n
Model 2 ˜r
K
n
b
n
= 1.0466 n = 50 h
n
= 0.6285
c — s
0.0601 0.1201 0.1802 0.2402 0.3003 — 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000
| Bias | — | Bias |
0.0710 0.0309 0.0284 0.0088 0.0132 — 0.0720 0.1305 0.1670 0.1806 0.1708
MSE — MSE
0.0050 0.0010 0.0008 0.0001 0.0002 — 0.0052 0.0170 0.0279 0.0326 0.0292
b
n
= 0.6603 n = 500 h
n
= 0.3966
c — s
0.0601 0.1201 0.1802 0.2402 0.3003 — 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000
| Bias | — | Bias |
0.0064 0.0040 0.0013 0.0028 0.0088 — 0.0333 0.0579 0.0697 0.0678 0.0544
MSE — MSE
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 — 0.0011 0.0033 0.0049 0.0046 0.0030
4 Data analysis
The proposed estimator was tested over one well-known real dataset to demonstrate its usefulness
in practical applications. For purposes of comparison, the particular classical kernel regression
estimator introduced in [22] was considered. With respect to this last point, a brief discussion
will be developed at the end of this section. The real dataset is the Motorcycle data found in
Appendix 2-Table 1 of [14], where the experiment, a simulated motorcycle crash, is described in
detail in [23]. It has n = 133 observations of X, where the X-values denote time (in milliseconds)
after a simulated impact with motorcycles and the response variable Y is the head acceleration
(in g) of a post mortem human test object. To facilitate the comparison of the effectiveness of
estimators (24), ˆr
NW
n
, (3) w.t.f. ϕ
5
3
, and (3) w.t.f. ϕ
1
, the performance of each estimator will
be graphed over the dataset through an average of 1000 trials. Moreover, for the fixed random
sample, X
1
, . . . , X
n
, a sample of independent random variables V
(d)
1
, . . . , V
(d)
n
will be used, where
V
(d)
i
is uniformly distributed on [0, 1] for each i, d, 1 ≤ i ≤ n and 1 ≤ d ≤ 1000.
In order to simulate the performance of the estimator ˆr
NW
n
, the idea in [22] will be adopted
with smoothing parameter h
n
= 2.40, and quartic kernel K
Q
(u) = (16/25)(1 − u
2
)
2
1I
[−1,1]
(u)
instead of K
E
. Simultaneously, for the fuzzy set estimation the smoothing parameter (26) will
be implemented, with v = M
Q
/2, where the approximate value of constant (28) was calculated
through (27) using h
n
= 2.40 and K
Q
instead of K
E
. Here M
Q
=
R
u
2
K
Q
(u) du. Figures 4 and 4
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
102 Jes´us A. Fajardo
show the simulation results together with the data points on [0, 57.60] and [0, 6.50], respectively.
From Figures 4 and 4, the estimator (3) w.t.f. ϕ
5
3
does not appear to offer an appropriate
approximation on large part of the region [2.92, 57.60], when compared with the similar results
produced by both (3) w.t.f. ϕ
1
and ˆr
NW
n
estimators. At the same time, Figure 4 shows that the
presence of the boundary problem in (3) w.t.f. ϕ
5
3
was removed by (24), where both (24) and
ˆr
NW
n
estimators fail miserably over their respective boundary regions, and only the estimator (24)
follows the data very closely on the left side of the picture, by making the curve be constant,
equal zero, over the region [0, 1.305].
Finally, it is necessary to point out that [24] does not present a study of simulations with real
data, and within the context of the above paper an appropriate criterion for the estimation of
the parameters d
1
and d
2
was not proposed. The previously exposed explains the absence, in this
section, of a study related to the graphical comparison of estimators (25) and (24). Remember
that, within the proposed objectives in this paper only the estimation of the parameters associated
with the fuzzy set estimation method will be considered. Consequently, the subjective choice of
the values of the parameters d
1
and d
2
would be incorrect, since it could benefit the behavior of
(24) and impair the behavior of (25), which would produce unreliable results.
Nueva_Completa-eps-converted-to.pdf
—— ˜r
n
-.-.-.-. ˆr
NW
n
pppppppppppp ˆr
n
w.t.f. ϕ
5
3
·· ·· · ˆr
n
w.t.f. ϕ
1
Figure 1: Regression estimates to the motorcycle data at the points inside the region [0, 57.60]
using smoothing parameters h
n
= 2.40 and b
n
= 2.92, where v =
M
Q
2
. The circles indicate the
raw data.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
Boundary estimation 103
Nueva_Boundary-eps-converted-to.pdf
—— ˜r
n
-.-.-.-. ˆr
NW
n
pppppppppppp ˆr
n
w.t.f. ϕ
5
3
· · · · · ˆr
n
w.t.f. ϕ
1
Figure 2: Regression estimates to the motorcycle data at the points inside the region [0, 6.5] using
smoothing parameters h
n
= 2.40 and b
n
= 2.92, where v =
M
Q
2
. The circles indicate the raw
data.
5 Final remarks
In this paper, a new contribution in the area of regression estimation not based on kernels
is presented, obtaining a natural extension of the results introduced in [8]. In particular, the
boundary effects in the fuzzy set regression estimator are studied and removed, where it does not
require boundary modifications to eliminate such effects, unlike most well-known kernel regression
estimators. Moreover, among the desirable properties of the boundary fuzzy set estimator the
non-negativity of the estimator is highlighted, as well as its performance which is generally very
robust with respect to various shapes of regression and density functions, since it allows important
reductions of the bias, while maintaining low variance. It is clear that no single existing estimator
in the literature dominates all the others for all shapes of regression and density functions. Each
estimator has certain advantages and works well at certain times. However, for the two regression
models and the two density functions considered, the boundary fuzzy set regression estimator
has better performance than the boundary regression estimator introduced in [24] at points near
zero in a spread neighborhood of the smoothing parameter.
On the other hand, it is appropriate to highlight the important role that the thinning function
plays in the results obtained, since its adequate construction allowed to eliminate the boundary
effects in the fuzzy set regression estimator, giving each boundary point the least approximation
between the boundary fuzzy set estimator and regression function. Finally, it is necessary to
point out that through the thinning point process that describes the fuzzy set density estimation
method, the set of observations considered can be characterized in a neighborhood of the esti-
mation point, where the indicator functions that define the fuzzy set density estimator decide
whether observation belongs on the neighborhood of the estimation point or not, and the thinning
functions that define each indicator function are used to select the sample points with different
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
104 Jes´us A. Fajardo
probabilities, in contrast to the kernel estimators which assign equal weight to all points of the
sample.
6 Acknowledgements
This research has been supported by a grant from the Academia de Ciencias de Am´erica Latina-
ACAL.
References
[1] T. H. Ali, H. A. A.-M. Hayawi and D. S. I. Botani (2021). Estimation of the bandwidth pa-
rameter in Nadaraya-Watson kernel non-parametric regression based on universal threshold
level, Commun. Stat. - Simul. Comput., 1–34. DOI: 10.1080/03610918.2021.1884719
[2] L. R. Cheruiyot (2020). Local Linear Regression Estimator on the Boundary
Correction in Nonparametric Regression Estimation, JSTA, 19 (3), 460–471. DOI:
10.2991/jsta.d.201016.001
[3] L. R. Cheruiyot, O. R. Otieno and G. O. Orwa (2019). A Boundary Corrected Non-
Parametric Regression Estimator for Finite Population Total,Int. J. Probab. Stat., 8 (3),
1–83. DOI: 10.5539/ijsp.v8n3p83
[4] F. Comte, and N. Marie (2021). On a Nadaraya-Watson estimator with two bandwidths,
Electron. J. Statist, 15 (1), 2566–2607. DOI: 10.1214/21-EJS1849
[5] J. Fajardo (2012). A Criterion for the Fuzzy Set Estimation of the Regression Function, J.
Prob. Stat., 2012. DOI: 10.1155/2012/593036
[6] J. Fajardo (2014). A criterion for the fuzzy set estimation of the density function, Braz. J.
Prob. Stat., 28 (3), 301–312. DOI: 10.1214/12-BJPS208
[7] J. Fajardo (2018). Comparison of the Mean Square Errors of the Fuzzy Set Regression
Estimator and Local Linear Regression Smoothers, Int. J. Math. Stat., 19 (1), 74–89.
http://www.ceser.in/ceserp/index.php/ijms/article/view/5355
[8] J. Fajardo and P. Harmath (2021). Boundary estimation with the fuzzy set density estimator,
METRON, 79, 285–302. DOI: 10.1007/s40300-021-00210-z
[9] J. Fajardo R. R´ıos and L. Rodr´ıguez (2010). Properties of convergence of a fuzzy set estimator
of the regression function, J. Stat., Adv. Theory Appl., 3 (2), 79–112. Zbl 05800441
[10] J. Fajardo, R. R´ıos and L. Rodr´ıguez (2012). Properties of convergence of a fuzzy set estima-
tor of the density function, Braz. J. Prob. Stat., 26 (2), 208–217. DOI: 10.1214/10-BJPS130
[11] M. Falk and F. Liese (1998). Lan of thinned empirical processes with an application to fuzzy
set density estimation, Extremes, 1 (3), 323–349. DOI: 10.1023/A:1009981817526
[12] F. Ferraty, V. N´u˜nez-Ant´on, and P. Vieu (2001). Regresi´on No Param´etrica: Desde la Di-
mensi´on uno Hasta la Dimensi´on Infinita, Servicio Editorial de la Universidad del Pais
Vasco, Bilbao.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
Boundary estimation 105
[13] P. Hall and B. U. Park (2002). New methods for bias correction at endpoints and boundaries,
Ann. Statist., 30 (5), 1460–1479. DOI: 10.1214/aos/1035844983
[14] W. H¨ardle (1990). Applied nonparametric regression, Cambridge University Press.
[15] R. Hidayat, I. N. Budiantara, B. W. Otok and V. Ratnasari (2021). The regression curve
estimation by using mixed smoothing spline and kernel (MsS-K) model, Commun. Stat.
Theory Methods, 50 (17), 3942–3953. DOI: 10.1080/03610926.2019.1710201
[16] M. C. Jones and P. J. Foster (1996). A simple nonnegative boundary co-
rrection method for kernel density estimation, Stat. Sinica, 6 (4), 1005–1013.
http://www3.stat.sinica.edu.tw/statistica/j6n4/j6n414/j6n414.htm
[17] R. J. Karunamuni and T. Alberts (2005). On boundary correction in kernel density estima-
tion, Stat. Methodol., 2 (3), 191–212. DOI: 10.1016/j.stamet.2005.04.001
[18] B. C. Kouassi, O. Hili and E. Katchekpele (2021). Nadaraya-Watson estimation of a non-
parametric autoregressive mode, MJM, 9 (4), 251–258. DOI: 10.26637/mjm904/009
[19] Y. Linke, I. Borisov, P. Ruzankin, V. Kutsenko, E. Yarovaya and S. Shalnova (2022). Uni-
versal Local Linear Kernel Estimators in Nonparametric Regression, Mathematics, 10 (15),
2693. DOI: 10.3390/math10152693
[20] E. A. Nadaraya (1964). On estimating regression, Theory Probab. Appl., 9, 141–142. DOI:
10.1137/1109020
[21] R. D. Reiss (1993). A Course on Point Processes, Springer Series in Statistics, New York.
[22] I. Salgado-Ugarte, M. Shimizu and T. Taniuchi (1996). Nonparametric regression:
Kernel, WARP, and k-NN estimators, S.T.B., 5. https://EconPapers.repec.org/Re-
PEc:tsj:stbull:y:1996:v:5:i:30:snp10
[23] G. Schmidt, R. Mattern and F. Sch¨uler (1981). Biomechanical investigation to determine
physical and traumatological differentiation criteria for the maximum load capacity of head
and vertebral column with and without protective helmet under effects of impact. EEC Re-
search Program on Biomechanics of Impac, Final Report Phase III, Project 65, Institut f¨ur
Rechtsmedizin, Universit¨at Heidelberg.
[24] K. Souraya, A. Sayah and Y. Djabrane (2015). General method of boundary correction in
kernel regression estimation, Afr. Stat., 10, 739–750. DOI: 10.16929/as/2015.729.66
[25] I. Sriliana, I . N. Budiantara and V. Ratnasari (2022). A Truncated Spline and Local Linear
Mixed Estimator in Nonparametric Regression for Longitudinal Data and Its Application,
Symmetry, 14 (12), 2687. DOI: 10.3390/sym14122687
[26] C. J. Stone (1980). Optimal rates of convergence for nonparametric estimators, Ann. Statist.,
8, 1348–1360. DOI: 10.1214/aos/1176345206
[27] G. S. Watson (1964). Smooth regression analysis, Sankhy¯a, Ser. A, 26, 359–372.
https://www.jstor.org/stable/25049340
[28] L. A. Zadeh (1965). Fuzzy sets, Inform. Control, 8, 338–353.
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
106 Jes´us A. Fajardo
[29] S. Zhang and R. J. Karunamuni (1998). On kernel density estimation near endpoints, J.
Stat. Plan. Infer., 70 (2), 301–316. DOI: 10.1016/S0378-3758(97)00187-0
[30] S. Zhang, R. J. Karunamuni and M. C. Jones (1999). An Improved Estimator of the
Density Function at the Boundary, J. Am. Stat. Assoc. 94 (448), 1231–1240. DOI:
10.1080/01621459.1999.10473876
Divulgaciones Matem´aticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 82–106
Divulgaciones Matemáticas Vol. 23-24, No. 1-2 (2022-2023), pp. 107112
https://produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones/
DOI:
https://doi.org/10.5281/zenodo.11540730
c
Autor(es)
e-ISSN 2731-2437
p-ISSN 1315-2068
Problemas y Soluciones
Problems and Solutions
Editor: Tobías Rosas Soto (
tjrosas@gmail.com
)
ORCID:
https://orcid.org/0000-0002-8085-5011
Departamento de Matemática, Facultad Experimental de Ciencias,
Universidad del Zulia, Maracaibo,
República Bolivariana de Venezuela.
Los problemas apropiados para esta sección son aquellos que puedan ser abordados por un
estudiante de matemática no graduado sin conocimientos especializados. Problemas abiertos
conocidos no son aceptables. Se preeren problemas originales e interesantes. Las soluciones
y los problemas propuestos deben dirigirse al editor por correo electrónico, en español o
inglés, a la dirección arriba indicada (preferiblemente como un archivo fuente en L
A
T
E
X). Las
propuestas deben acompañarse de la solución, o al menos de información suciente que haga
razonable pensar que una solución puede ser hallada.
Appropriate problems for this section are those which may be tackled by undergra-
duate math students without specialized knowledge. Known open problems are not suitable.
Original and interesting problems are preferred. Problem proposals and solutions should
be e-mailed to the editor, in Spanish or English, to the address given above (preferably as
a L
A
T
E
X source le). Proposals should be accompanied by a solution or, at least, enough
information on why a solution is likely.
1 Problemas propuestos
Los dos problemas propuestos a continuación se plantearon en la XXVI Olimpiada Iberoamericana
de Matemática Universitaria 2023.
153. Sea
0 < C < 1
y
f : R
+
→ R
+
. Demuestre que si
f(x + f (x)) ≤ Cf (x)
para todo
x > 0
,
entonces no existe
a > 0
tal que
f
sea continua en el intervalo
[a, ∞)
.
154. Dado un número real
t > 1
, sea
C
t
el cuadrado de lado
2
con centro
(t, t
2
)
y lados paralelos
a los ejes. Sea
A
t
el área de la región
C
t
∩ Γ
, donde
Γ = {(x, y) : y ≥ x
2
}
. Calcule el límite
de
A
t
cuando
t → +∞
.
2 Soluciones
Recordamos que no se han recibido soluciones a los problemas 2425, 28, 44, 54, 79, 8491, 94
100, 108113, 116, 118123, 126, 128129, 133143 y 145152. Invitamos a los lectores a enviarnos
sus soluciones para esos problemas.
108 Tobías Rosas Soto (ed.)
27. [
8
(2) (2000) p. 179.]
a) Sea
ABCD
un rectángulo tal que
AB = 1cm
y
BC = 2cm
. Sean
K
el punto medio de
AD
,
L
el punto de intersección de
AC
con
BK
y
M
y
N
los puntos medios de
BK
y
AC
respectivamente. Encontrar el área del triángulo
LMN
.
b) Sea
ABCD
un rectángulo tal que
AB = 1cm
y
BC = n cm
. Sean
C
0
y
D
0
puntos sobre
los segmentos
BC
y
AD
respectivamente, de modo que
ABC
0
D
0
es un cuadrado y
E
un punto del segmento
BC
tal que
EC = 1cm
. Sean
L
y
M
los puntos de intersección
de
BD
0
con
AC
y
AE
respectivamente y
N
el punto de intersección de
C
0
D
0
y
AC
.
Encontrar el área del triángulo
LMN
.
Solución por Diego Andres Bellido González (
diegobellido54@ gmail. com
), estudiantes
de la Licenciatura Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad del Zulia, Maracaibo,
República Bolivariana de Venezuela.
Parte a)
Figura 1: Primer rectángulo
En la Figura 1, tenemos que
ABCD
es un rectángulo y los siguientes datos
AB = 1 cm
,
BC = 2 cm
,
AK = KD
,
BM = M K
, y
AN = NC
. Por Pitágoras en
4ABC
y
4ABK
:
BK =
√
2
y
AC =
√
5
.
Figura 2: Triángulos opuestos por un vértice
De la Figura 2 se concluye que el triángulo
4LAK
es semejante al triángulo
4LCB
. Luego:
AK
CB
=
1
2
⇒
LA
LC
=
LK
LB
=
1
2
⇒ 2LA = LC
y
2LK = LB
Tomando en cuenta este resultado, obtenemos lo siguiente:
CL + LA = AC ⇒ LC + LA = AC ⇒ 2LA + LA =
√
5 ⇒ LA =
√
5
3
Divulgaciones Matemáticas Vol. 23-24 No. 1-2 (2022-2023), pp. 107112
Problemas y Soluciones 109
Además,
LB + LK = BK ⇒ 2LK + LK =
√
2 ⇒ LK =
√
2
3
Como
M
es punto medio de
BK
, por hipótesis, se tiene que:
MK =
BK
2
⇒ ML+LK =
√
2
2
⇒ ML =
√
2
2
−LK ⇒ M L =
√
2
2
−
√
2
3
⇒ ML =
√
2
6
Como
N
es punto medio de
AC
, por hipótesis, obtenemos que:
NA =
AC
2
⇒ AL + LN =
√
5
2
⇒ LN =
√
5
2
− LA ⇒ LN =
√
5
6
Ahora, calculamos el
∠MLN
:
∠MLN = 180
◦
− ∠AKL −∠KAL
Como
∠AKL = ∠AKB
, y sabemos que
4ABK
es rectángulo e isósceles, se tiene que
∠AKL = 45
◦
.
Para obtener el valor de
∠MLN = ∠ACB
usamos razones trigonométricas, teniendo que:
tg(∠ACB) =
1
2
⇒ ∠ACB = 26, 6
◦
Luego,
∠MLN = 180
◦
− 45
◦
− 26, 6
◦
= 108, 4
◦
Por último, calculamos el área:
A =
LM · LN
2
· sen(∠M LN ) =
√
2
12
·
√
5
12
˙sen(108, 4
◦
) =
√
10
144
· sen(108, 4
◦
)
Parte b)
Figura 3: Triángulos opuestos por un vértice
Respecto a la Figura 3, tenemos que
ABCD
es un rectángulo,
ABC
0
D
0
es un cuadrado,
AB = 1 cm
,
BC = n cm
y
EC = 1 cm
.
Divulgaciones Matemáticas Vol. 23-24 No. 1-2 (2022-2023), pp. 107112
110 Tobías Rosas Soto (ed.)
Figura 4: Triángulos opuestos por un vértice
Por el criterio ángulo-ángulo, el triángulo
4CN C
0
es semejante al triángulo
4AND
0
.
Luego, tenemos que:
CC
0
AD
0
=
CN
AN
⇒
BC − BC
0
1
=
AC −AN
AN
Por Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo
4ABC
, se tiene que
AC =
√
1 + n
2
, luego
AN(n − 1) =
p
1 + n
2
− AN ⇒ AN · n − AN + AN =
p
1 + n
2
⇒ AN =
√
1 + n
2
n
Figura 5: Triángulos opuestos por un vértice
Por criterio ángulo-ángulo, el triángulo
4LD
0
A
es semejante al triángulo
4LBC
. Luego,
tenemos que:
AD
0
BC
=
AL
CL
⇒
1
n
=
AL
AC −AL
⇒ AC − AL = AL · n ⇒ AL(n + 1) = AC
AL =
√
1 + n
2
n + 1
LN = AN − AL =
√
1 + n
2
n
−
√
1 + n
2
n + 1
⇒ LN =
√
1 + n
2
n(n + 1)
Divulgaciones Matemáticas Vol. 23-24 No. 1-2 (2022-2023), pp. 107112
Problemas y Soluciones 111
Figura 6: Triángulos opuestos por un vértice
Por criterio ángulo-ángulo, tenemos que el triángulo
4MAD
0
es semejante al triángulo
4MEB
, luego
D
0
M
BM
=
AD
0
BE
⇒
D
0
M
BD
0
− D
0
M
=
1
n − 1
Además, por el teorema de Pitágoras,
BD
0
=
√
2
.
D
0
M(n − 1) =
√
2 − D
0
M ⇒ D
0
M. n =
√
2 ⇒ D
0
M =
√
2
n
Tomando en cuenta la Figura 5, tenemos:
D
0
L
BL
=
1
n
⇒
D
0
L
BD
0
− D
0
L
=
1
n
⇒ D
0
L. n = BD
0
− D
0
L ⇒ D
0
L(n + 1) = BD
0
D
0
L =
√
2
n + 1
Luego,
LM = D
0
M − D
0
L ⇒ LM =
√
2
n
−
√
2
n + 1
⇒ LM =
√
2
n(n + 1)
Figura 7: Triángulos opuestos por un vértice
ABC
0
D
0
es un cuadrado, por lo que
∠LBC = 45
◦
. Por razones trigonométricas:
tg(α) =
1
n
⇒ α = tg
−1
1
n
⇒ ∠NLM = ∠CLB = 180
◦
− tg
−1
1
n
− 45
◦
Divulgaciones Matemáticas Vol. 23-24 No. 1-2 (2022-2023), pp. 107112
112 Tobías Rosas Soto (ed.)
∠NLM = 135
◦
− tg
−1
1
n
De esta manera, se puede calcular el área del
4LMN
sustituyendo los valores obtenidos
en la siguiente fórmula:
A =
1
2
· LM · LN · sen(α)
A =
1
2
·
√
1 + n
2
n(n + 1)
·
√
2
n(n + 1)
· sen
135
◦
− tg
−1
1
n

A =
√
2
2
·
√
1 + n
2
n
2
(n + 1)
2
· sen
135
◦
− tg
−1
1
n

Divulgaciones Matemáticas Vol. 23-24 No. 1-2 (2022-2023), pp. 107112
Guía para los Autores
Divulgaciones Matemáticas
es una revista arbitrada que considera para su publicación
trabajos inéditos de investigación, en todas las áreas de la Matemática y sus aplicaciones, historia
o enseñanza. Contribuciones adecuadas trabajos de investigación, de divulgación e históricos y
de enseñanza matemática. Se presta especial atención a los temas tratados en la reunión anual e
itinerante de las
Jornadas Venezolanas de Matemáticas
celebradas en Venezuela. Además,
contempla una sección de problemas y soluciones, la cual presenta problemas que puedan ser
abordados por un estudiante de matemática no graduado, sin conocimientos especializados.
El primer requisito para que un artículo sea publicable es su corrección matemática. En
segundo lugar, el estilo expositivo debe ser atrayente y lo más uido y organizado que sea
posible. En los trabajos de investigación se tomarán en cuenta la relevancia y originalidad de
los resultados obtenidos. El tercer requisito para que el cuerpo editorial de la revista acepte
un artículo, para someterlo a evaluación y posible publicación, es que el mismo debe estar
elaborado en LaTeX, utilizando una plantilla predenida por la revista, se le pide a los au-
tores respetar las instrucciones internas indicadas en la plantilla mencionada. El archivo fuente
(.tex) y una versión en formato .dvi, .pdf o .ps (imprimible) debe enviarse por correo electrónico a
divulgaciones@demat-fecluz.org
. Si el artículo contiene guras, éstas deben adjuntarse como
archivos separados en formatos .png o .jpg.
Los lenguajes aceptados por la revista son español e inglés. Al someter un artículo, el autor
debe remitir una carta en la que se haga constar que el artículo que se está sometiendo no ha
sido publicado o sometido a otra revista de forma total o parcial. Dicha carta debe contener los
siguientes datos: Nombre completo del autor o autores, título del artículo, rma del autor que
somete el artículo (autor de correspondencia), y declaración expresa de conformidad de los demás
autores (cuando exista más de un autor).
El autor, o autores, en el mensaje de sometimiento del manuscrito deben indicar la sección de
la revista en la que sugiera debe ser incluido su trabajo, a saber: artículo de investigación, artículo
de divulgación e histórico, artículo de enseñanza matemática. Además, el autor debe suministrar
los datos (nombre, correo, institución donde laboran) de tres especialistas en el área del trabajo
sometido. Los artículos deben organizarse en las siguientes secciones: Identicación, Resumen,
Abstract, Introducción, Desarrollo, Agradecimiento (opcional), y Referencias bibliográcas (usar
el estilo ejemplicado en la plantilla).
Identicación.
Esta debe incluir: Título completo del trabajo en castellano e inglés; Título
corto para el trabajo; Nombre completo y dirección completa del autor o autores; Aliación
institucional; Dirección electrónica; Dos clasicaciones, una primaria y otra secundaria, de
cinco caracteres de la AMS (MSC 2010).
Resumen:
Texto de no más de doscientas palabras que simplique en esencia lo que se
presenta a lo largo del trabajo. Debe tomar en cuenta aspectos como: Objetivos del trabajo;
Metodología utilizada; Resultado. A continuación del resumen se deben incluir de tres a
seis palabras o frases claves.
Abstract:
Una traducción al idioma inglés de todo lo expuesto en el resumen.
Para mayor información se puede dirigir a la página web de la revista:
produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones
Cabe resaltar que
LA REVISTA SOLO PROCESARÁ LOS ARTÍCULOS QUE CUM-
PLAN CON TODOS LOS REQUISITOS ANTES EXPUESTOS
.
Guide for Authors
Divulgaciones Matemáticas
is a refereed journal, which considers for publication, unpub-
lished research papers in all branches of mathematics and its applications, history or teaching.
Suitable contributions can be research papers, historical and/or teaching papers and bibliograph-
ical reviews. Special attention is paid to those topics covered by the annual itinerant meeting
Jornadas Venezolanas de Matemáticas
held in Venezuela. In addition, the journal contem-
plates a section of problems and solutions, which contains problems that can be addressed by
undergraduate students of mathematics without expertise.
Mathematical correctness is the rst requirement for an article to be published. In second
place, the exposition style should be attractive and most uid and organized as possible. For
research works the relevance and originality of the results will be taken into account. The third
requirement to agree on the evaluation and possible publication of an article is its preparation in
LaTeX using a predened template by the journal. We ask the authors to respect the internal
instructions given in the provided template. The source le (.tex) and a version .dvi, .pdf or .ps
(printable) should be sent by email to
divulgaciones@demat-fecluz.org
. If the article contains
gures, these should be attached as separate les in .jpg or .png formats.
The languages accepted by the journal are Spanish and English. When submitting an article,
the author must include a separate letter stating that the article has not been published or
submitted to another journal in total or partial way. The letter should contain the following
information: Full name of author or authors, article title, signature of the author who submitts
the article (corresponding author), and a declaration of conformity of the other authors.
When submitting a manuscript, the author or authors, should suggest the section of the
journal in which the work should be included, namely research papers, expository and histori-
cal papers, mathematics teaching papers. In addition, the author must provide the data (name,
email, institution where they work) of three specialists in the area of the submitted work. Articles
should be organized into the following sections: Identication, Abstract, Resumen, Introduction,
Development, Acknowledgment (optional), and References (use the style exemplied in the tem-
plate).
Identication
. This should include: Full title in Spanish and English; short title for the
article; Full name and full address of author or authors; Institutional aliation; Electronic
address; Two classications, one primary and one secondary, of ve characters of the AMS
(MSC 2010).
Abstract:
Text of not more than two hundred words simplify essentially what is pre-
sented throughout the work. You should take into account aspects such as work objectives;
Methodology used; Result. Following the abstract should include three to six key words or
phrases.
Resumen:
A Spanish language translation of the above in the abstract.
For more information you can go to the Journal's website:
produccioncientificaluz.org/index.php/divulgaciones
It should be noted that
THE MAGAZINE WILL ONLY PROCESS ARTICLES THAT
MEET ALL THE REQUIREMENTS STATED ABOVE
.
DIVULGACIONES MATEMÁTICAS, Vol. 23-24, No. 1-2
Se terminó de editar en Junio del 2024
en el Departamento de Matemática (DEMAT)
Maracaibo - Venezuela.
La Universidad del Zulia
AUTORIDADES
Judith Aular de Durán
Rectora
Clotilde Navarro
Rector (E)
Vicerrectora Académica (E)
Vice Administrativo
Marlene Primera Galué
Vicerrectora Administrativa (E)
Secretaria de LUZ
Ixora Gómez
Secretaria de LUZ (E)
Facultad Experimental de Ciencias
José Ortega
Decano
Tobías Rosas Soto
Director del Departamento de Matemática
Divulgaciones Matemáticas
Contenido (Contents):
Vol. 23-24, No. 1-2, 2022-2023
Artículos de Investigación
(Research papers)
Super quasi-topological and paratopological vector spaces versus topological vector spaces.
Super casi-topológicos y paratopológicos espacios vectoriales versus espacios vectoriales topológicos.
Madhu Ram, Bijan Davvaz 1-11
Los números Ramsey para tres grafos y tres colores.
The Ramsey numbers for three graphs and three colors.
José Figueroa, Tobías Rosas, Henry Ramírez, Armando Anselmi 12-28
Estudio cualitativo del metabolismo de una droga ingerida.
Qualitative study of the metabolism of an ingested drug.
Berónica Aguilar - Adolfo Fernández - Sandy Sánchez - Antonio Ruiz 29-43
Top(X) y Spec(τ ) como espacios primales.
T op(X) and Spec(τ ) as primal spaces.
Viviana Benavides - Jorge Vielma 44-53
Grafo divisor de cero de Z 2 q .
Zero divisor graph of Z 2 r q s .
Juan Otero - Daniel Brito - Tobías Rosas 54-63
Un método nuevo para eliminar la indeterminación en los problemas singularmente perturbados
con resonancia de Ackerberg y O'Malley.
A new method for eliminating the indeterminacy in the singularly perturbed problems with
Ackerberg-O'Malley resonance.
Jacques Laforgue 64-81
Boundary Estimation with the Fuzzy Set Regression Estimator.
Estimación Frontera con el Estimador de Regresión con Conjunto Difuso.
Jesús Fajardo 82-106
Problemas y Soluciones
(Problems and Solutions)
Tobías Rosas Soto. (Editor) 107-112
Facultad
Experimental
de Ciencias
Universidad
del Zulia