Revista de Ciencias Humanas y Sociales
© 2022. Universidad del Zulia
ISSN 1012-1587/ ISSNe: 2477-9385
Depósito legal pp. 198402ZU45
Portada: Dándole
Artista: Rodrigo Pirela
Medidas: 25 x 30 cm
Técnica: Acrílico sobre tela
Año: 2012
Año 38, Especial No. 29 (2022): 214-233
ISSN 1012-1587/ISSNe: 2477-9385
DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.7498739
Recibido: 18-06-2022 •Aceptado: 21-07-2022
Hacia la conceptualización de número con base en
Von Neumann, Educación Primaria
María Leticia Rodríguez González
Centro de Investigación y Estudios Avanzados del IPN, México
Código ORCID: 0000-0001-5667-2955
leticia.rodriguez@cinvestav.mx
Bernardo Gómez Alfonso
Universidad de Valencia, España
Código ORCID: 0000-0003-1098-4130
bernardo.gomez@uv.es
Resumen
Este artículo síntetiza la investigación sobre la construcción y
aprendizaje de los números en los primeros grados de educación primaria.
Objetivo: Estudiar la viabilidad de introducir un Modelo de Enseñanza
para la construcción de los números naturales, dirigido a niños/as de los
dos primeros ciclos de educación primaria, incluyendo el cero.
(RODRÍGUEZ, 2021). Con el Marco Teórico - metodológico de los
Modelos Teórico Locales, se experimentó la construcción de los números
con niños/as. Los resultados permitieron comprender que cuando los
infantes tienen la oportunidad de experimentar con contenidos formales,
tienen mayores posibilidades de llegar a la conceptualización aritmética.
Palabras clave: aprendizaje; conceptualización; números; cero;
Von Neumann.
Towards the conceptualization of number based on Von
Neumann, elementary school
Abstract
This article synthesizes the research on the construction and
learning of numbers in the elementary school’s first grades. Objective: To
study the feasibility of introducing a Teaching Model for the construction
of natural numbers, aimed at children of the first two cycles of
elementary school, including zero. (RODRÍGUEZ, 2021). With the
Theoretical -methodological Framework of the Local Theoretical Models,
the construction of numbers with children was experimented with. The
results allowed us to understand that when infants can experiment with
formal content, they are more likely to reach arithmetic conceptualization.
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Keywords: learning; conceptualization; numbers; zero; Von
Neumann.
1. INTRODUCCIÓN: PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
Las acciones de conteo oral, clasificación, seriación, dibujo y
representación de algunos números que logran realizar los niños
pequeños, no significa que ya tengan nociones aritméticas, ni que
reconozcan que “…la numeración tiene que ver con las reglas sintácticas
y fonéticas para expresar el número” (GÓMEZ, 1988. p. 17). Por ello,
que una de las funciones de los sistemas educativos es introducir las
nociones aritméticas para establecer las bases del pensamiento
matemático infantil.
A pesar de que el problema de aprendizaje de los números ha
generado numerosas investigaciones, todavía no se ha podido determinar
con precisión las dificultades que tienen las/os niñas/os para
conceptualizar, comprender y usar los números en diversas situaciones de
la vida escolar y cotidiana. Por lo que esta investigación se cuestiona si es
posible avanzar en el tratamiento paralelo de la cardinalidad y la
ordinalidad de los números naturales, sin que una de estas componentes
anule a la otra.
Para esta tarea se propuso la estructura matemática de Von
Neumann, traducida por HAMILTON y LANDIN (1961), dado que
permite reducir la problemática a sus elementos primarios: la iteración
como la operación básica y base del proceso recursivo. Esta propuesta
usa la teoría de conjuntos y en el principio de inducción finita encapsula
la axiomática de PEANO (1979). Esta estructura matemática inicia con la
construcción del número cero y de la noción de sucesor.
Es importante señalar que un modelo de enseñanza de esta
naturaleza, nunca se ha puesto en práctica en la escuela primaria, sólo se
tiene el referente del trabajo de investigación de MARAVILLA (2011),
bajo la dirección del Dr. Filloy, que propuso establecer el orden y el
conteo a niños de edad preescolar, usando el modelo de Von Neumann.
Para darle continuidad, en este proyecto de investigación se trabaja
con alumnado de los dos primeros ciclos de educación primaria;
profundizando en los Modelos de Competencia Formal y el de
Comunicación; el uso de los Sistemas Matemáticos de Signos (SMS)
involucrados en la construcción de los números naturales, incluyendo el
cero, sus propiedades y sus operaciones.
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Identificar y comprender cómo estructuran esbozos lógico
semióticos de cada situación; identificar el papel que juegan los procesos
cognitivos en la construcción de representaciones y las inferencias
analíticas, el tipo de códigos personales que usan para referirse a las
acciones que realizan en las actividades que se les proponen, las
posibilidades de generalización y abstracción que van dotando de sentidos
intermedios a las redes de acciones cada vez más abstractas para
convertirlas en operaciones (FILLOY, 1999).
2. MARCO TEÓRICO: MODELOS TEÓRICOS LOCALES
Los MTL son una estructura teórica para la observación
experimental en la investigación en Matemática Educativa. Tienen su
origen en ROJANO (1985), quien proposo a la observación empírica
como la herramienta metodológica para comprender los procesos
cognitivos que se articulan en la competencia formal y pragmática, en
situaciones de enseñanza y aprendizaje en las aulas.
El sentido de lo Local está focalizado en fenómenos específicos a
partir del análisis de competencia Formal, cogntivo, comunicación y el
modelo de enseñanza. El análisis está centrado en las actuaciones de los
participantes, para observar cómo se están construyendo los procesos de
pensamiento a través del intercambio de mensajes con contenido
matemático y los distintos grados de compentencia en el uso de los SMS,
para crear textos matemáticos.
A través de los procesos de lectura/transformación se van
concretando estrategias y códigos personales para producir significados
intermedios en la resolución de situaciones problemáticas a las que se
exponen. Para decodificar las observaciones empíricas, se requiere la
“…conveniencia de que el observador cuente con una competencia de
uso de los SMS más abstracto que englobe todos los utilizado sen el
proceso observado.” (FILLOY, 1999, p. 7).
Este MTL se ha estructurado considerando los cuatro
componentes: Competencia Formal, Competencia cognitiva,
Competencia de comunicación y Modelo de Enseñanza.
2.1. COMPETENCIA FORMAL
Es el referente matemático abstracto y sus aplicaciones. Su análisis
implica la identificación de objetos matemáticos como un concepto, una
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estructura o una idea matemática “…que se construyen como medios de
organización (…) como fenómenos tanto del mundo real como de las
matemáticas (…) sus propiedades, las acciones que hacemos sobre ellos o
las propiedades de las acciones…” (PUIG, 1994, p. 9), a través de la
acción educativa.
En la adaptación didáctica que hacen HAMILTON y LANDIN
(1961) del modelo formal de Von Neumann, consideran que su
conceptualización es un proceso complicado y no es solamente nombrar
los números o establecer una correspondencia uno – uno; por lo que es
necesario construirlos ordinalmente.
Se comienza por la construcción del cero como primer número y a
partir de la iteración como principio del proceso recursivo se va
obteniendo el sucesor. De acuerdo con CHOATE, DEVANEY y
FOSTER (1999, p. IX) “Iterar significa repetir algo una y otra vez”; lo
que se hace para el primer elemento se hace para los subsiguientes:
entonces el paso n + 1 se obtiene del paso n. Con la recursión se puede
definir una función para todos los ordinales, El proceso que hizo para el
primero, se hace para los sucesores. De acuerdo con MOSTERÍN:
El teorema de la recursión transfinita nos permite definir
una función para todos los ordinales, definiéndola para el 0
y, suponiendo que ya esté definida para un ordinal
cualquiera 𝛼, definiéndola para 𝛼 + 1, y, suponiendo que ya
esté definida para todos los ordinales menores que un
ordinal límite 𝜆, definiéndola para 𝜆. (p. 188).
Entonces, “…una función computable puede definirse también
como función recursiva. Toda definición recursiva es computable, y a la
inversa, toda función computable es recursiva”. Más adelante refiere: “…
una función es recursiva si y solo si es computable…” (MOSTERÍN,
2000, p. 295).
2.2. COMPETENCIA COGNITIVA
En esta componente se identifican y analizan los procesos
cognitivos que se ponen en acción para desarrollar el pensamiento
matemático y su comunicación: la expresión y representación de las ideas
matemáticas a través de códigos establecidos convencionalmente. Para
ello, se orienta la atención en desarrollar procesos de comprensión de los
textos matemáticos, apoyados en la memoria, desencadenar procesos de
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análisis y síntesis en distintas situaciones matemáticas, lo que a su vez
posibilita acciones y actuaciones heurísticas ligadas a la promoción de la
generalización y la abstracción, generando nuevos usos de los SMS de la
matemática escolar (FILLOY,1999, p. 37).
Estos procesos se van desarrollando gradualmente, hasta
consolidar el sentido de la convencionalidad, generando procesos de
análisis lógicos cada vez más abstractos. Los procesos memorísticos
permiten establecer inferencias y descubrir las relaciones matemáticas
involucradas, desarrollando de forma natural la necesidad de dotar de
sentidos a las redes de acciones cada vez más abstractas hasta convertirlas
en operaciones.
De acuerdo con FILLOY, ROJANO y PUIG (2008, pp. 164 –
166), en una situación de enseñanza y con la intención de que los
estudiantes logren transitar de un estrato de lenguaje SMS concreto a uno
más abstracto, los procesos que se producen de forma recurrente las
denominan tendencias cognitivas. Lo que se buscó fue identificar y
comprender el papel que éstas juegan para establecer el tránsito de la
acción a la operación y consolidar la abstracción matemática.
Las actividades que los niños van realizando con los símbolos y los
signos les permiten sustituir, codificar, esquematizar y modelar una
situación, concepto u objeto (TALIZINA, 2000); mientras que “…la
imaginación es la formación psicológica nueva, central, que garantiza la
preparación para los estudios escolares.” (TALIZINA, 2000, p. 45), lo
que les permitirá desarrollar la reflexión como un acto inminente de la
conciencia humana para desarrollar la habilidad de argumentar y explicar
la realidad. (TALIZINA, 2000). En síntesis, las acciones se pueden orientar,
ejecutar, controlar y corregir (TALIZINA, 2000). De acuerdo con esta
postura, hay acciones específicas para la formación de los conceptos
matemáticos, por lo que se consideró fundamental para identificar,
entender y comprender las actuaciones de los niños, lo que se constituye
como unidad de análisis del aprendizaje.
Con la teoría de las acciones, se puede entender que la asimilación
guía la formación de acciones cognoscitivas para la formación de
conceptos matemáticos (TALIZINA, 2001). Pero, es necesario considerar
que en el ámbito de la enseñanza que las experiencias adquiridas en el
contexto familiar, escolar, cultural y social pueden generar obstructores
cognitivos que dificultan el paso de las acciones a las operaciones para la
construcción de conceptos matemáticos.
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2.3. COMPETENCIA DE COMUNICACIÓN
En esta componente se propuso entender y comprender cómo
son los procesos de comunicación que se generan en el aula, para
identificar las dificultades que tienen los niños con el uso de los SMS
involucrados en la construcción de los números naturales; así como la
producción de sentido para consolidar los procesos de significación,
que les permita llegar a la abstracción. Para ello, se recuperan las
aportaciones semióticas de PEIRCE (1987), para entender los
procesos de significación que desarrollan los niños en el aula, la
producción de sentido las acciones que van realizando en la
construcción de los números naturales, incluyendo el cero.
La atención se enfocó en identificar las relaciones significantes
como interrelaciones activas, continuas y complejas entre la sintaxis, la
semántica y la pragmática, permitió entender cómo los niños/as usan
e implementan códigos, para darle sentido a los símbolos y signos que
se fueron produciendo (BARTHES, 1993, pp. 22 – 23), durante las
secuencias didácticas propuestas; dando lugar al uso de argumentos
como procesos de significación: inducción, deducción y abducción
(PEIRCE, 1987, pp. 258 – 260); constituyendo la base de la reflexión
y abstracción conceptual.
Se identificaron los argumentos que los niños emplean permite
entender los procesos de significación y el uso de los SMS implicados
en la construcción de los números naturales, pues los SMS son “…una
herramienta de análisis de los textos que producen los alumnos
cuando se les está enseñando matemáticas en los sistemas
escolares…” (FILLOY, 1999, p. 64). En los textos, los niños
producen sistemas de signos o estratos de sistemas de signos para
darle sentido a las actividades que se les proponen en el modelo de
enseñanza (FILLOY, ROJANO y PUIG, 2008, p. 7), teniendo en
cuenta que en los SMS lo matemático está en los sistemas no en los
signos.
De esta componente, el interés fue identificar la dotación
de sentidos intermedios con el uso de códigos personales, como
parte del proceso de transición entre lo concreto y lo abstracto,
para nombrar y reconocer al objeto con el empleo de códigos
convencionales de los SMS involucrados en la construcción de los
números naturales.
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2.4. MODELO DE ENSEÑANZA
Es una colección de textos, donde se generan y modelan acciones,
con lenguajes que van de lo concreto a lo abstracto, con códigos
intermedios, para gradualmente desarrollar habilidades matemáticas y
resolver distintas situaciones o problemas. Estas habilidades matemáticas
van desde los conocimientos intuitivos, sintácticos y semánticos que la
experiencia escolar y cognitiva les va aportando. La base de este modelo
de enseñanza debe partir de una estructura matemática formal,
transformándola en actividades concretas, como un texto para producir
otros textos en la interacción maestro – alumno; alumno – alumno;
alumno – maestro. En los intercambios de textos se producen
“…códigos para desarrollar habilidades de resolución.” (FILLOY 1999,
p. 26).
El modelo de enseñanza se diseñó a partir de la componente
formal y en el caso particular de este diseño se articula la estructura de J.
Von Neumann (HAMILTON y LANDIN, 1961); con el aporte de los
otros dos componentes se observan y analizan las actuaciones de los
niños, para identificar dificultades o procesos de aprendizaje, a partir de
analizar los procesos de lectura/transformación que se van generando.
Las secuencias de actividades fueron publicadas anteriormente
(RODRÍGUEZ, et. al 2020); pero es necesario mencionar que, para el
diseño de este modelo, se tradujeron los principios (P
i
) matemáticos del
modelo formal de Von Neumann: número cero, sucesor, definición de
números naturales, conteo y uso de las formas aritméticas 10 + 𝑎 en
acciones de suma y multiplicación, cuando los resultados o productos son
mayores a diez se usó 𝑎 ∙ 10 + 𝑏.
3. METODOLOGÍA DEL ESTUDIO
La metodología es de corte cualitativo, el énfasis está centrado en
la observación, generalización y la interpretación. En este modelo la
explicación del fenómeno se realiza a la luz de la teoría, constituyendo la
base fundamental para dar validez a la investigación. En la fase
experimental participaron tres grupos de primero segundo y tercer grado
(2016 – 2017) de tres escuelas diferentes, y en el siguiente ciclo escolar
(2017 – 2018) sólo participaron dos de los tres grupos, debido a que una
de las escuelas resultó seriamente dañada por el sismo de 2017; sin
embargo, esta situación no obstaculizó que la experimentación se
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realizara con grupos de 1º a 4º grado: los alumnos de primero pasaron a
segundo y los de tercero a cuarto.
Esta organización metodológica se realizó en tres fases: Diseño del
MTL; Experimentación y Diagnóstico y; Entrevistas clínicas.
3.1. DISEÑO DEL MTL
El diseño consistió en la articulación de cada componente para la
construcción de los números naturales incluyendo el cero con la base
formal matemática de von Newman; traduciéndolas a secuencias de
actividades, con el uso de material manipulativo, siguiendo un orden de lo
fácil a lo difícil.
3.2. EXPERIMENTACIÓN Y DIAGNÓSTICO
Experimentación del modelo de enseñanza y análisis de las
actuaciones de los niños: para identificar dificultades observadas durante
las actividades y como segundo momento analizarlas a la luz de las
categorías de análisis. El diagnóstico se conformó por el análisis
cuantitativo y cualitativo.
En el análisis cuantitativo.- se utilizó el modelo tridimensional
propuesto por ROJANO (1985), que propone 3 ejes de análisis:
Conocimientos Intuitivos, Semántico y Sintáctico. Druante la
experimentación los alumnos resolvieron ejercicios escritos, donde cada
reactivo está articulado teóricamente a cada uno de los ejes:
- Conocimientos Intuitivos: conocimientos previos y
espontáneo.
- Semántico: resolución de situaciones
problemáticas con base en sus conocimientos y producción
de sentido que asignan a las actividades.
- Sintáctico uso de reglas aritméticas para usar y
operar los números.
Se establecieron criteros para determinar el nivel de desempeño
(alto, medio o bajo), de acuerdo con las respuestas en la resolución de los
reactivos.
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Cada reactivo se cuantificó con: (1) el reactivo fue contestado
correctamente y (0) contestado incorrectamente o no contestado. La
justificación teórica de cada reactivo se puede consultar en
RODRÍGUEZ (2021).
Se establecieron criterios para determinar el estrato, clase y
coordenadas de cada estudiante.
Estrato.- Se siguieron las pautas de ROJANO (1985, p. 40),
determinando cinco criterios de estratificación de acuerdo con el número
total de reactivos por eje, después los estratos 4 y 5 se sumaron para
obtener el estrato alto; el estrato medio se tomó el estrato 3 y para el
estrato bajo se sumaron el 1 y 2. (Tabla1.)
Tabla 1. Criterios de estratificación
Estrato
Conocimientos Intuitivos
Semántico
Sintáctico
Alto 4 y 5
Medio 3
Bajo 2 y 1
Fuente: RODRÍGUEZ, (2021)
Clase: Para obtener la asignación de clase por eje, se consideró el
total de reactivos, con relación a los rangos determinados por el
porcentaje. (Tabla 2.)
Tabla 2. Criterios para asignación de clase
Clase
%
Rango
numérico
3
23.2
24-29
2
23.2
14-23
1
12.8%
8 - 13
Fuente: RODRÍGUEZ, (2021)
Representación espacial.- Representación de la población en el
modelo tridimensional, (Rojano, 1985) de acuerdo con las coordenadas x,
y, z: conocimientos intuitivos, semántico y sintáctico respectivamente.
(Fig. 1)
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Fig. 1. Representación gráfica del diagnóstico del grupo de 1º - 2º grado
Fuente: RODRÍGUEZ, (2021)
El análisis cualitativo se puede consultar en (RODRÍGUEZ, et. al.
2020).
El diagnóstico permitió concretar las primeras aproximaciones, el
análisis cuantitativo permitió observar que el 33.3% de los alumnos
representaron la clase central frente al 53.33% que se ubicaron en el
desempeño alto y sólo 13.3% tuvo un desempeño bajo. Lo que significa
que las acciones realizadas por los niños en un primer momento con el
modelo de enseñanza diseñado con base en los MTL lograron dar sentido
a las acciones de iteración y recursión para la construcción de los
números naturales incluyendo el cero y lo aplicaron en diferentes
situaciones problemáticas.
En el análisis cualitativo, se observó que conforme se repetía el
proceso iteración y recursión en la construcción de cada número y la edad
de los niños aumentaba; las dificultades se iban superando gradualmente.
La interacción que se dio en la construcción de los intertextos facilitó la
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dotación de sentidos intermedios, posibilitando la producción de
significación, propiciando una ruptura de los conocimientos previos,
facilitando un pensamiento tendiente a la abstracción numérica. El
reporte de este análisis se puede consultar en RODRÍGUEZ, et. al.
(2020) y en RODRÍGUEZ (2021).
3.3. APLICACIÓN DE ENTREVISTAS CLÍNICAS
El protocolo de la entrevista se estructuró con las mismas
actividades del modelo de enseñanza, con algunas modificaciones y
aumentando el grado de dificultad (RODRÍGUEZ, 2021). Se seleccionó a
6 estudiantes, tres de primer y tres de segundo ciclo, con la finalidad de
contrastar a través de la entrevista clínica si aún se presentan las
dificultades observadas durante la experimentación. Las entrevistas se
aplicaron después de ocho meses de no trabajar con los alumnos. Se
volvió aplicar el modelo de enseñanza, modificando el grado de
dificultad. Cada entrevista tuvo una duración de dos horas
aproximadamente.
En el análisis de las entrevistas las dificultades que se presentaron
se organizaron en dos grupos: dificultades recurrentes similares a la fase
de experimentación y dificultades nuevas; también se identificaron
indicios de transición hacia la generalización matemática. Por cuestiones
de espacio sólo se ejemplificará una de las dificultades recurrentes:
Reconocer que todo sucesor contiene a sus anteriores (B3); con un fragmento de la
entrevista de Ana de 7 años, en donde se estaba trabajando la
construcción del sucesor del número dos. Para el análisis se numeraron
los diálogos, con la finalidad de ubicar a qué parte del fragmento se está
refiriendo; las iniciales son: E/entrevistadora y A/Ana.
1. E: Pero ¿quién te falta para poderlo meter? [Ana ha construido la
bolsa/número dos].
2. A: El cero [toma otra bolsita vacía y le pega la etiqueta del cero].
3. E: Ya tienes el cero, ahora ¿quién te falta? Tienes el cero y el dos ¿quién
falta?
4. A: El tres.
5. E: Fíjate, tienes cero, el dos, ¿quién falta [al mismo tiempo que le
señala las dos bolsas/número del cero y dos, que acaba de
construir. Señalando el espacio entre ambas bolsas. Pero Ana duda
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por lo que la entrevistadora le vuelve a señalar el espacio entre las
dos bolsas/número y le pregunta] ¿quién sigue después del cero?
6. A: El uno.
En este fragmento Ana presenta la dificultad B3, pues a pesar de
haber construido las bolsa/número dos E(1) y la bolsa/número cero
A(2), no logra reconocer que falta la bolsa/número uno A(4) como se
puede apreciar en la figura Núm. 2 y su representación simbólica en la
figura 4; hasta que E(5) le muestra las bolsas/número que están sobre la
semirrecta, para que ella pudiera reconstruir el proceso en A(6), acto que
es interpretado por Ana, a través de la reversibilidad, ver Fig. 2 y Fig. 3
Fig. 2. Ana tiene la dificultad B3
Fuente: RODRÍGUEZ, (2021).
F3. Esquematización de la dificultad B3
Fuente: RODRÍGUEZ, (2021)
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De las nuevas dificultades que se observaron fueron
principalmente el uso de las propiedades asociativa y conmutativa en la
resolución de problemas aditivos y multiplicativos. Situación que se
resolvió durante la entrevista, a través de las preguntas de los niños y la
guía de la entrevistadora para que las niñas y niños analizaran sus
procesos de solución e identificaran los errores y corregirlos.
Lo más interesante de los hallazgos de la entrevista fueron los
indicios de transición hacia la generalización aritmética. En estos indicios
se puede observar las maneras en que reflexionan y argumentan el uso de
las nociones aritméticas aplicadas en la resolución de problemas. En la
tabla Núm. 3, se presentan las generalizaciones que están relacionadas
con los P
i
con base en el modelo de Von Neumann (GP
i
).
Tabla 3. Generalización aritmética de acuerdo con el modelo de Von
Neumann
P
i
GPi
Actividad de generalización
P
1
GP
1
Identificación del cero como número y como conjunto
vacío.
P
2
GP
2
Reconocer que el cero es el único número que pertenece
a todos los sucesores.
GP
3
Reconocer que el cero es el único número que no es un
sucesor.
P
3
GP
4
Acercamiento conceptual a la noción de sucesor.
GP
5
Producción de sentido para la construcción del sucesor,
usando el proceso recursivo.
P
4
GP
6
Acercamiento al sentido de ordinalidad: reconocer que
todo sucesor contiene a todos los anteriores.
P
6
GP
7
Uso del número cero como elemento neutro en la
resolución de problemas aditivos.
GP
8
Uso de las propiedades asociativa y conmutativa en la
operación de suma.
Fuente: RODRÍGUEZ, (2021)
En la tabla 4, se presentan las generalizaciones que están
relacionadas con las nociones numéricas y sus operaciones (GNO
i
).
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Tabla núm. 4. Generalización hacia las nociones numéricas y sus
operaciones (GNO)
GNO
i
Actividad de Generalización hacia las nociones
numéricas y sus operaciones
GNO
1
Identificar el cero como punto origen de la recta.
GNO
2
Uso de la transformación del modelo aditivo 𝐴 + 𝐵 =
𝐶, para la resolución de problemas aditivos.
GNO
3
Relacionar el uso de los (+) y (−) con las operaciones
aditivas.
Fuente: RODRÍGUEZ, (2021).
A continuación se muestra un ejemplo de la generalización GP
3
,
con otro fragmento del trabajo de Ana:
1. E: ¿Quién es el antecesor de cero?
2. A: Nadie. Porque no sigue nadie. Porque antes del cero no hay nadie.
Hasta allí ya no hay.
Se puede observar que Ana tiene clara la noción de sucesor A(2),
lo que podemos interpretar como una dotación de sentido (DS 2) para
acercarse a la noción de que el número cero no es un sucesor (GP 3),
apoyándose en un argumento (APS 2), justificando que el número cero
representa un límite o frontera.
En el siguiente fragmento (Dulce, 9 años) se observa la dotación
de sentido, para posibilitar la generalización para usar la propiedad
asociativa en la resolución de problemas aditivos (GP
8
):
1. E: ¿Qué diferencia hay entre esta y esta? [Entre la primera y la
tercera opción].
2. D: Que en esta tiene esto [se refiere a las cantidades que están
agrupadas de distinta manera por los paréntesis:
(
32 + 23
)
+
21 = y 32 +
(
23 + 21
)
=].
3. E: Paréntesis.
4. D: Sí.
5. E: ¿Qué significan esos paréntesis?
6. D: Que están separados.
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Revista de Ciencias Humanas y Sociales. FEC-LUZ
Dulce le da sentido (DS2) al uso de la propiedad asociativa para
la suma (D2), relaciona eficientemente el uso de parentesis para
agrupar dos sumandos, en un algoritmo de suma de más de tres
sumandos, no importa el orden, reconoce que se pueden sumar de las
dos maneras (D6) donde:
El parentesis de la expresión inicial (𝑎 + 𝑏) + 𝑐,
indica que debemos determinar primero el elemento
(𝑎 + 𝑏) y después encontrar (𝑎 + 𝑏) + 𝑐. (…). En la
expresión 𝑎 + (𝑏 + 𝑐), el paréntesis indica que primero
debemos encontrar el elemento (𝑏 + 𝑐) y después 𝑎 +
(𝑏 + 𝑐). (PETERSON Y HASISAKI, 1996, p. 102).
3.4. ANÁLISIS DE RESULTADOS
El análisis de la aplicación de este MTL, permitió averiguar qué
dificultades de aprendizaje tienen los niños cuando se les enseña con
un modelo fundamentado en la estructura formal matemática de Von
Newmann, centrado en el principio de ordinalidad a partir de la
construcción del número cero, usando los procesos de interación y
recursión para la obtención del sucesor.
3.4.1. ANÁLISIS POR CICLO ESCOLAR
Los niños del primer ciclo escolar, se observó que las
dificultades estuvieron centradas en el uso del proceso recursivo, para
identificar que todo sucesor contiene a sus anteriores, pero en la
medida en que el proceso se repetía al construir cada número; los
niños fueron capaces de superar estas dificultades. El ejercitar la
iteración y la recursión fue fundamental para que los niños se
acercaran a la noción de cero, dotando de sentido las relaciones del
cero como: vacío, ausencia de elementos, punto origen en la recta,
primer elemento de la construcción, es el único número que pertenece
a todos los sucesores, también es el único número que no es un
sucesor, es el elemento neutro para la suma.
Se familiarizaron con el uso de el modelo aritmético 10 + a; y
cuando se representan números mayores de 10, usaron la forma: 𝑎 ∙
10 + 𝑏.
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Opción, Año 38, Especial No.29 (2022): 214-233
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Los niños de segundo ciclo, le dieron sentido usaron el modelo
aritmético A + B = C, dotando de sentido las acciones de transformación
del modelo para la resolución de problemas de suma, en situaciones
problemáticas.
La aplicación de las entrevistas clínicas permitió identificar que
algunas de las dificultades recurrentes observadas en la fase de
experimentación, se volvieron a presentar; pero en este ambiente
personalizado, los niños lograron superarlas en menor tiempo.
3.4.2. INDICIOS HACIA LA GENERALIZACIÓN
ARITMÉTICA
Otro de los hallazgos más importantes que se observaron fue que
la tendencia de los razonamientos que hicieron los niños, hacia la
generalización aritmética. Estos razonamientos se agruparon por su
estructura en dos bloques: 1. Los que se relacionan directamente con el
modelo de Von Newmann y; 2. Los que se relacionan con las nociones
numéricas y sus operaciones.
La generalización del primer bloque muestran un avance hacia la
conceptualización del número cero como conjunto vacío, como el único
número que pertenece a todos los sucesores, con la precisión de que él no
es un sucesor y que es el elemento neutro para la suma. Lograron un
acercamiento a la noción de sucesor con el uso de procedimientos
iterativos y recursivos en la construcción de cada número; el acercamiento
al sentido de ordinalidad para reconocer que todo sucesor contiene a sus
anteriores. Usaron las propiedades asociativa y conmutativa para la suma.
La generalización del segundo bloque muestra el acercamiento al
número cero como punto origen en la recta numérica. Le dieron sentido
y usaron la transformación del modelo aditivo A + B = C, para la
resolución de problemas aditivos. Relacionaron el uso de los signos (+) y
(-) con la resolución de operaciones aditivas en problemas aritméticos.
4. REFLEXIONES FINALES
En conclusión, se puede decir que la implementación de este
Modelo de Enseñanza, motivó a los niños a trabajar una manera distinta
de conceptualizar a los números, a partir de la construcción del sucesor.
Asimismo podemos señalar que los niños de los primeros grados de
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Revista de Ciencias Humanas y Sociales. FEC-LUZ
educación primaria, tienen un desarrollo cognitivo y comunicativo que
les permite darle sentido a actividades que promueven la
generalización aritmética.
La influencia de las maneras en que los niños han adquirido las
nociones numéricas en los diferentes entornos de su vida cotidiana,
pueden obstruir la comprensión y uso pragmático de la recursividad
para reconocer que cada sucesor (número) contiene a todos los
sucesores; que el número cero es el primer elemento de la
construcción, que es el único que pertenece a todos sus sucesores y
que no tiene antecesor. Pero cuando se trabaja con un modelo de
enseñanza con una base formal matemática, como en este caso Von
Neumann, esas dificultades se pueden superar, como muestran los
resultados de la entrevista. Los niños con un bajo nivel de
competencia (Estrato Bajo) superaron las dificultades que se
presentaron durante la experimentación grupal, lo que nos permite
proponer la posibilidad de implementar estos modelos desde los
primeros grados de educación elemental, brindando un área de
oportunidad para establecer las bases un pensamiento matemático que
les permita acceder a otros niveles de comprensión.
Incorporar la componente formal para la conceptualización de
los números desde el primer grado de primaria, facilita el desarrollo
conceptual antes del uso del simbolísmo, propio del enfoque de la
enseñanza de los números naturales como una construcción trivial,
memorística y operativa.
Aunque la intención de esta investigación no estuvo centrada
en las dificultades de la práctica docente, la experimentación del
modelo diseñado permitió aportar elementos para el análisis de las
dificultades de aprendizaje de los números naturales con especial
atención al cero como número, abriendo un abánico de posibilidades
para reconceptualizar la enseñanza, a partir de fortalecer la
competencia formal de los docentes en servicio y los que están en
formación.
Se considera necesario recuperar la tradición formal matemática
en la enseñanza, para potenciar el pensamiento matemático abstracto,
que les permita a los alumnos acceder a niveles superiores de
conocimiento matemático.
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Opción, Año 38, Especial No.29 (2022): 214-233
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Como producto de este proceso investigativo, se proponen
futuras líneas de investigación:
La incorporación de la componente Formal Matemática en el
currículo de Educación Básica para enriquecer y profundizar la relación
entre el pensamiento aritmético y el pensamiento algebraico.
Simplificando la práctica del pensamiento aritmético para la construcción
de las nociones numéricas; mismas que servirán de base conceptual para
que a través del manejo algebraico, se establezcan las relaciones abstractas
entre dichas nociones, dando sentido y significado a las expresiones
algebraicas.
El diseño de actividades para los libros de texto para los alumnos,
reconceptualizando la enseñanza evitando saltos y rupturas entre el
aprendizaje de la aritmética y del álgebra a través de la traducción de los
principios matemáticos a actividades concretas, con el uso de material
manipulable.
La incorporación de la componente formal matemática en el
currículo de formación docente de las Escuelas Normales y en la
formación continua de maestros en servicio, para consolidar la
competencia matemática en los profesores en servicio y en los que están
en formación, con la finalidad para que la enseñanza promueva el
aprendizaje y el desarrollo del pensamiento aritmético y algebraico de los
alumnos, a través de la manipulación de expresiones matemáticas cada
vez más abstractas.
5. AGRADECIMIENTOS
Agradecimiento especial al Consejo Nacional de Ciencia y
Tecnología (CONACYT) por el apoyo brindado a través de la beca para
la realización de estudios de Doctorado en el Departamento de
Matemática Educativa del CINVESTAV-IPN. Becario 88237/88237
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARTHES, Roland. (1993). La aventura semiológica. Editorial Paidós,
Barcelona (España).
CHOATE, Jonathan. DEVANEY, Robert. FOSTER. Alice. 1999.
Iteration: the tool kit fo dynamic activities. Key Currículum
Prees, Innovators in Mathematics Education. (USA)
Hacia la conceptualización de número con base en Von Neumann, Educación Primaria 232
Revista de Ciencias Humanas y Sociales. FEC-LUZ
FILLOY, Eugenio. 1999. Aspectos Teóricos del álgebra educativa. Grupo
Editorial Iberoamérica. (México).
FILLOY, Eugenio, ROJANO, Teresa, y PUIG, Luis. 2008. Educational
algebra: a theoretical and empirical approach. Springer. (USA).
GÓMEZ, Bernardo. 1988. Numeración y Cálculo. Editorial Síntesis
(España).
HAMILTON, Norman. y LANDIN, Joseph. 1961. Set theory and the
structure of arithmetic. Editorial Allyn and Bacon, Inc. (USA).
MOSTERIN, Jesús. 2000. Los lógicos. Editorial Espasa Calpe, S. A.
(España).
PEANO, José. 1979. Los principios de la aritmética expuestos según un
nuevo método. Tr. e introducción Velarde, Lombraña, J. Colec.
Clásicos el Basilisco. Pentalfa, Ediciones Oviedo. (España).
PEIRCE, Charles. 1987. Obra lógico semiótica. Taurus Ediciones.
(Madrid)
PETERSON, John. y HASHISAKI, Joseph. 1996. Teoría de la
aritmética. Editorial Limusa Noriega. (México).
PUIG, Luis. 1994. Semiótica y matemáticas. Eutopías 2ª época. Centro
de Semiótica y teoría del espectáculo de la Universitat de
Valencia & Asociación Vasca de Semiótica, Vol. 51. (España).
RODRÍGUEZ GONZÁLEZ, María Leticia, FILLOY FILLOY,
Eugenio, GÓMEZ ALFONSO, Bernardo. 2020. “Dificultades en
la construcción de los números naturales incluyendo el cero con
estudiantes de 6 a 8 años”. En revista Enseñanza las Ciencias, 38.
– 3. Disponible en: https://ensciencias.uab.cat/article/view/v38-
n3-rodriguez-gomez-filloy/2881-pdf-es consultado el: 10.05.2022
RODRIGUEZ GONZÁLEZ, María Leticia. 2021. Análisis de
dificultades de la construcción de los números naturales con base
en Von Neumann. Tesis doctoral no publicada. Centro de
Investigación y de Estudios Avanzados del IPN. Departamento de
Matemática Educativa. (México).
TALIZINA, N. 2000. Manual de Psicología Pedagógica. Editorial
Universidad de San Luis Potosí. (México).
TALIZINA, N. 2001. La formación de las habilidades del pensamiento
matemático. Editorial Universidad de San Luis Potosí. (México).
VAN HEIJENOORT, Jean. 1967. From Frege to Gödel: a source book
in mathematical logic. 1879 – 1931. Editorial Harvard University.
(USA).
233
María Leticia Rodríguez González et al.
Opción, Año 38, Especial No.29 (2022): 214-233
Revista de Ciencias Humanas y Sociales. FEC-LUZ
BIODATA DE AUTORES
María Leticia Rodríguez González. Profesora de Educación primaria,
pedagoga, maestría y doctorado en Matemática Educativa por el
Cinvestav – IPN (México). 30 años de experiencia como maestra de
educación primaria y 16 años como catedrática en licenciatura y posgrado.
He participado como ponente en diversos Congresos Nacionales e
Internacionales sobre Matemática Educativa (RELMA, CIMA,
MATHENSM, SEIEM, PME-NA. Publicación de artículos relacionados
con el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas y el español en
educación primaria. Coautora de libro Metodología de la investigación
Educativa. ISBN 978-607-538-486-3.
Bernardo Gómez Alfonso. Director, Catedrático jubilado del
Departamento de Didáctica de las Matemáticas de la Universidad de
Valencia. Excodirector de la revista “Enseñanza de las ciencias y de las
Matemáticas”, expresidente de la Sociedad Española de Investigación en
Educación Matemática (SEIEM). Experiencia investigadora en
Pensamiento numérico y algebraico, con énfasis en los modelos de
enseñanza y aprendizaje de los procesos arimético y algebraicos de los
currículos de educación primaria y secundaria, su desarrollo y evolución
histórica. Elaboración de libros de texto. Colaboración en investigación
con el Cinvestav-IPN. Sus publicaciones son de impacto internacional.
UNIVERSIDAD
DEL ZULIA
Revista de Ciencias Humanas y Sociales
Año 38, Especial N° 29 (2022)
Esta revista fue editada en formato digital por el personal de la Oficina de
Publicaciones Científicas de la Facultad Experimental de Ciencias, Universidad del
Zulia. Maracaibo - Venezuela
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