Sistemas de residuos completos explícitos en un cuerpo cuadrático en general

• Suton Tadee Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Thepsatri Rajabhat University, Lopburi 15000.
• Vichian Laohakosol Department of Mathematics, Faculty of Science, Kasetsart University, Bangkok 10900.
• Santad Damkaew Department of Mathematics and Computer Science, Chulalongkorn University, Bangkok 10330.

Palabras clave: cuerpos cuadráticos, sistema completo de residuos, punto reticular

Resumen

Bergum determinó explícitamente tres representaciones para un sistema de residuo completo en el cuerpo cuadrático $\mathbb{Q(\sqrt{-3})}$ extendiendo dos resultados anteriores en $\mathbb{Q(\sqrt{-1})}$ y $\mathbb{Q(\sqrt{-2})}$ . Entre estas tres representaciones, la primera es más simple de obtener, mientras que la tercera es mínima en el sentido de que la suma de sus valores absolutos es mínimo. Aquí, ampliamos estos resultados obteniendo representaciones explícitas para un sistema completo de residuos en cualquier cuerpo cuadrático general. La primera representación usa puntos reticulares en un rectángulo en el primer cuadrante de un plano apropiado, mientras que la segunda representación utiliza puntos reticulares en un paralelogramo y la tercera representa puntos reticulares en un hexágono y posee una propiedad de minimalidad para cuerpos cuadráticos imaginarios.

Citas

G. E. Bergum. Complete residue systems in the quadratic domain . Internat. J. Math. Math. Sci. 1 (1978), 75-86.

N. R. Hardman and J. H. Jordan. A minimum problem connected with complete residue systems in the Gaussian integers. Amer. Math. Monthly 74 (1967), 559-561.

H. Pollard and H. G. Diamond. The Theory of Algebraic Numbers. The Mathematical Association of America, 1975.

J. H. Jordan and C. J. Potratz. Complete residue systems in the Gaussian integers. Math. Magazine 38 (1965), 1-12.

C. J. Potratz. Character sums in. Ph.D. dissertation, Washington State University, 1966.

D. Redmond. Number Theory, an Introduction. Marcel Dekker, New York, 1996.